第11章 专题2 球的内切与外接问题（课件PPT）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

单击此处添加文本具体内容 第十一章　 立体几何初步 专题2　球的内切与外接问题 1.外接球：简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径大小或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键. 2.内切球：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. （1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. （2）正多面体的内切球和外接球的球心重合. 专题2　球的内切与外接问题 （3）正棱锥的内切球和外接球的球心都在高线上，但不重合. （4）基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理. （5）体积分割是求内切球半径的通用做法. 专题2　球的内切与外接问题 题型一　构造长方体或正方体确定球心 [例1]　表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（　　） A.π B.π C.π D.π 专题2　球的内切与外接问题 [解析]　如图所示，将正四面体补成一个正方体.设正四面体的棱长为a， ∵正四面体的表面积为，∴4×a2＝，解得a＝， ∴正方体的棱长是.又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R， ∴2R＝×，∴R＝，∴球的体积为π·＝π，故选A. [答案]　A 专题2　球的内切与外接问题 　　长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点，以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法. 途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥都分别可构造正方体. 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或正方体. 途径3：若已知棱锥含有线面垂直的关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体. 专题2　球的内切与外接问题 题型二　利用球的定义确定球心 [例2]　在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为 （　　） A.π B.π C.π D.π 专题2　球的内切与外接问题 [解析]　如图，因为AE＝EB＝DC＝1，∠DAB＝∠CBE＝∠DEA＝60°， 所以AD＝AE＝EB＝BC＝DC＝DE＝CE＝1， 即三棱锥P－DCE为正四面体，所有棱长均为1，易求得其外接球直径为， 所以其外接球体积为π. [答案]　C 专题2　球的内切与外接问题 　　 　　在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心. 由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论. 结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 结论2：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点. 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点. 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到. 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心. 专题2　球的内切与外接问题 题型三　利用球的性质确定球心 [例3]　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的直径为 　　　　⁠.  [解析]　如图，由已知条件可知，当AB⊥AC时，BC的中点D为△ABC外接圆的圆心，同理B1C1的中点E为△A1B1C1外接圆的圆心.因为三棱柱是直三棱柱，所以DE的中点O为球心.又DE＝AA1＝12， 专题2　球的内切与外接问题 设△ABC外接圆半径为r，则r＝＝，即EC1＝. 球O的半径R＝OC1＝＝.故球O的直径为13. [答案]　13 专题2　球的内切与外接问题 　　利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心. 专题2　球的内切与外接问题 题型四　分割法解决棱锥的内切球问题 [例4]　正三棱锥P－ABC侧棱长为，底面棱长为2，三棱锥P－ABC内切球表面积是 　　　　⁠.  [解析]　设内切球半径为r，则 三棱锥高为＝，斜高为＝2， 专题2　球的内切与外接问题 所以表面积为×（2）2＋3××2×2＝9， 体积为V＝××（2）2×＝×r×9，得r＝， 所以内切球的表面积为4π＝. [答案]　π 专题2　球的内切与外接问题 　　将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程.若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为R＝. 专题2　球的内切与外接问题 题型五