下篇 方略4 进场有底 板块3 三角函数与平面向量-2023新教材新高考数学【导学教程】大二轮专题辅导与训练

下篇寻命题之魂赢高考之道○ 5.巧构造原函数模型 ③f(x)>g(x)有解台[f(x)一g(x)]max>0: (1)原函数是函数的和差组合 f(x)<g(x)有解台[f(x)-g(x)]mim<0. ①对于f(x)>g(x)(<g'(x),构造函数h(x)= ④]x1∈M,]x2∈N,f()>g(x2)台f(x1)mx≥ f(x)-g(x). g(x2）mm 特别地，若f(x)>a(<a)(a≠0)，即导函数大于某 ⑤f(x)和g(x)的图象有交点可转化为f(x)= 个非零常数，则可以构造函数h(x)=f(x)一a.x. g(x)有解或f(x)-g(x)=0有解， ②对于f(x)+g'(x)>0(<0),构造函数h(x)= 板块三三角函数与平面向量 f(x)+g(x). 一、牢记概念与公式 (2)原函数是函数的乘除组合 1.同角三角函数的基本关系 ①对于f(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(<0),构造 （a)商数关系：ng=tan(e≠km+受，k∈Z: cos a 函数h(x)=f(x)g(x). (2)平方关系：sina+cosa=l(a∈R). ②对于f(x)g(x)一f(x)g'(x)>0(<0),构造 2.三角函数的诱导公式 函数h(x)=fx) 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限，其 g(x) 特别地，(a)对于xf(.x)十f(x)>0(<0),构造函 中，“奇、偶”是指k·受士a(a∈Z)严中k的奇偶性； 数h(x)=xf(x); “符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号. (b)对于xf(x)一f(x)>0(<0),构造函数 3.三角恒等变换的主要公式 h()=f(z) sin(a±B)=sin acos B:±cos asin B; cos(a±3)=cos acos B干sin asin B; (3)原函数是含e的乘除组合 ①对于f(x)+f(x)>0(<0),构造函数h(x)= tan(a±B)=tana士tang l干tan atan3i e"f(x). sin 2a=2sin acos a; ②对于f(x)一f(x)>0(<0),构造函数 cos 2a=cos a-sin'a=2cos a-1=1-2sin a; h(x)=f tan 2a- 2tan a e 1-tan'a 6.“恒成立问题”与“有解问题”的求解策略 4.三种函数的性质 (1)恒成立问题的转化 函数 y=sin x y-cos x y=tan x ①f(x)>0恒成立台f(x)mim>0;f(x)<0恒成 y Ay 立台f(x)mx<0. 图象 火 ②f(x)>a恒成立台f(x)min>a;f(x)<a恒成 -12 立台f(x)nmax<a. 在 灭十 ③f(x)>g(x)恒成立台[f(x)一g(x)]mim>0; f(x)<g(x)恒成立台[f(x)-g(x)]mmx<0. 2kπ， 十 在[-π十 ④Hx1∈M,Hx2∈N,f(x1)>g(x2)台f(x1)im 2kπ，2kπ] 2k元 (k∈ 在(-受十 g(x2）mx (k∈Z)上 Z)上单调 kπ， 十 ⑤Hx1∈D,3x2∈D,f(x1)>g(.x2),可转化为 单调递增； 单调性 f(x)min>g(x）min· 递 增；在 在[2kπ，π kπ(k∈Z) (2)有解问题的转化 十2kπ， +2kπ](k 2 上单调 ①f(x)>0有解台f(x)mx>0;f(x)<0有解曰 ∈Z)上单 3π 递增 f(x)min<0 2 十2k元 调递减 ②f(x)>a有解台f(x)max>a;f(x)<a有解台 (k∈Z)上 f(x)min<a. 单调递减 169 。高考专题辅导与训练·数学 续表 7.平面向量的数量积 (1)若a,b为非零向量，夹角为0， 对称中心： 对称中心： (kπ，0)(k 则a·b=a|bcos0. (+0】 对称中心： ∈Z); (2)设a=(x1,y1),b=(x2y2), 对称性 对称轴： (k∈Z): 经) 则a·b=x1x2十y1y2. 对称轴： x=T十kx (k∈Z) 8.两个非零向量平行、垂直的充要条件 2 x=kπ(k∈ 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (k∈Z) Z (1)a∥b台a=b(b≠0)台.x1y2-x2y1=0. 5.三角函数的图象变换 (2)a⊥b台a·b=0台x1x2十y1y2=0. 由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ar十g) 9.利用数量积求长度 (A>0,w>0)的图象的两种方法如下. (1)若a=(x,y),则|a=√a·a=√+y. 方法一 方法二 (2)若A(x1y1),B(x2,y2),则 画出y=sinx的图象 画i出y=sinx的图象 问左(p>0)或