第6章 专题3 导数典型问题归纳（课件PPT）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

单击此处添加文本具体内容 第六章　导数及其应用 专题3　导数典型问题归纳 　　利用导数研究函数的单调性和极值（最值）是高考的常见题型，常将导数与函数、方程、不等式等知识交汇命题，而且难度偏向中高档题. 专题3　导数典型问题归纳 题型一　利用导数解决函数的单调性问题 [例1]　已知函数f（x）＝ax－－2ln x（a∈R）. （1）若函数f（x）在区间[1，＋∞）上是单调函数，求实数a的取值范围； （2）讨论函数f（x）的单调性. [解]　（1）f'（x）＝a＋－＝（x＞0）. ①当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减； 专题3　导数典型问题归纳 ②当a＞0时，令g（x）＝ax2－2x＋a. ∵函数f（x）在区间[1，＋∞）上是单调函数， ∴g（x）≥0在区间[1，＋∞）上恒成立， ∴a≥在区间[1，＋∞）上恒成立. 令u（x）＝，x∈[1，＋∞）. ∵u（x）＝≤＝1，当且仅当x＝1时取等号， ∴a≥1. 专题3　导数典型问题归纳 ∴当a≥1时，函数f（x）单调递增. ∴实数a的取值范围是（－∞，0]∪[1，＋∞）. （2）f（x）的定义域为（0，＋∞）. 由（1）可知，①当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减； ②当a≥1时，此时函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 专题3　导数典型问题归纳 ③当0＜a＜1时，由ax2－2x＋a＝0，解得x＝或x＝. ∴函数f（x）在，上单调递增， 在上单调递减. 综上，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递减； 当0＜a＜1时，f（x）在，上单调递增， 专题3　导数典型问题归纳 在上单调递减； 当a≥1时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增. 专题3　导数典型问题归纳 利用导数研究函数的单调性应注意以下几点 （1）关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间. （2）已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价. （3）分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集. （4）求参数的范围时常用到分离参数法. 专题3　导数典型问题归纳 题型二　利用导数解决函数的最值问题 [例2]　已知函数f（x）＝x3－3x2－9x＋2. （1）求函数f（x）的单调区间； （2）求函数f（x）在区间[0，a]上的最小值. [解]　（1）f（x）＝x3－3x2－9x＋2，则f'（x）＝3x2－6x－9. 令f'（x）＞0，则x＞3或x＜－1， ∴f（x）在（－∞，－1），（3，＋∞）上递增；在（－1，3）上递减. 专题3　导数典型问题归纳 （2）由（1）可知，f（x）在（3，＋∞）上递增，在（0，3）上递减. 当0＜a≤3时，f（x）在[0，a]上递减， ∴函数f（x）在区间[0，a]上的最小值为f（a）＝a3－3a2－9a＋2； 当a＞3时，f（x）在（3，a]上递增，在[0，3]上递减， ∴函数f（x）在区间[0，a]上的最小值为f（3）＝－25. 综上所述，当0＜a≤3时，函数f（x）在区间[0，a]上的最小值为f（a）＝a3－3a2－9a＋2； 当a＞3时，函数f（x）在区间[0，a]上的最小值为f（3）＝－25. 专题3　导数典型问题归纳 　　（1）已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义. （2）讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f'（x）的正负. （3）将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的那个值是最大值，最小的那个值是最小值. 专题3　导数典型问题归纳 题型三　利用导数解决不等式恒成立问题 [例3]　已知函数f（x）＝x2－（a＋1）ln x－（a∈R，a≠0）. （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的x∈[1，＋∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范围. 专题3　导数典型问题归纳 [解]　（1）由已知定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－＝. 当a＋1≤0，即a≤－1时，f'（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＋1＞0，即a＞－1时，x＝－（舍）或x＝，所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增. 所以a≤－1时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增； a＞－1时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增. 专题3　导数典型问题归纳 （2）由（1）可知，当a≤－1时，f（x）在（1，＋∞）上单调递增，若f（x）≥0对任意的x∈[1，＋∞）恒成立，只需f（1）≥0，而f（1）＝0恒成立，所以a≤－1成立； 当a＞－1时，若≤1，即－1＜a≤0，则f（x）在（1，＋∞）上单调递增，又f（1）＝0，所以－1＜a≤0成立； 若a＞0，则f（x）在（1，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，又f（1）＝0，所以∃x0∈（1，），f（x0）＜f（1）＝0，不满足f（x）≥0对任