第6章 专题2 构造法解决不等式问题（课件PPT）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

单击此处添加文本具体内容 第六章　导数及其应用 专题2　构造法解决不等式问题 　　导数与不等式之间有着密切的联系，是解决不等式问题的一种重要工具.其中构造函数利用导数解决不等式问题是在学习中要掌握的能力，它的实质就是构造函数，然后利用导数与函数的关系来解决不等式问题. 6.2.1　导数与函数的单调性 题型一　直接构造利用单调性证明不等式 [例1]　证明：对∀x≥0，不等式ln（1＋x）≥，x∈[0，＋∞）恒成立. [证明]　设f（x）＝ln（1＋x）－，x∈[0，＋∞）， 则f'（x）＝－＝. 显然对∀x＞0，有f'（x）＞0. 故函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，且f（0）＝0，从而f（x）≥f（0）＝0. 即ln（1＋x）≥，x∈[0，＋∞）. 6.2.1　导数与函数的单调性 　　在证明不等式问题中，可以直接作差构造，然后利用导数证明函数的单调性，结合函数值证明不等式. 6.2.1　导数与函数的单调性 题型二　构造函数解不等式 [例2]　（1）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x）且f（x＋2）为偶函数，若f（4）＝1，则不等式f（x）＜ex的解集为 （　　） A.（－3，＋∞） B.（1，＋∞） C.（0，＋∞） D.（6，＋∞） 6.2.1　导数与函数的单调性 （2）已知可导函数f（x）是定义在上的奇函数.当x∈时，f（x）＋f'（x）tan x＞0，则不等式cos x·f＋sin x·f（－x）＞0的解集为 （　　） A. B. C. D. 6.2.1　导数与函数的单调性 [解析]　（1）令g（x）＝，∵f'（x）＜f（x）， ∴g'（x）＝＜0， ∴g（x）在定义R上单调递减.① 又f（x＋2）为偶函数，∴f（2＋x）＝f（2－x），∴f（0）＝f（4）＝1， ∴g（0）＝＝1，则不等式f（x）＜ex⇔＜，即g（x）＜g（0），由①得x＞0，故选C. 6.2.1　导数与函数的单调性 （2）当x∈时，f（x）＋f'（x）tan x＞0， 则cos xf（x）＋f'（x）sin x＞0， 则函数sin xf（x）在上单调递增.又可导函数f（x）是定义在上的奇函数， 则sin xf（x）是上的偶函数，且在上单调递减， 由可得x∈，则x＋∈，－x∈， 6.2.1　导数与函数的单调性 则x∈时，不等式cos x·f＋sin x·f（－x）＞0， 可化为sin·f＞sin（－x）·f（－x）. 又由函数sin xf（x）在上单调递增，且－x∈，x＋∈， 则有＞x＋＞－x＞0，解得－＜x＜0. [答案]　（1）C　（2）D 6.2.1　导数与函数的单调性 　　常用的求解方法是逆用导数的运算法则将条件中的代数式进行合理变形，再构造函数，借助函数的单调性求解.常见的构造方法如下： （1）对于f'（x）＋f（x）＞0，构造g（x）＝exf（x）； （2）对于f'（x）－f（x）＞0，构造g（x）＝； （3）对于xf'（x）＋f（x）＞0，构造g（x）＝xf（x）； （4）对于xf'（x）－f（x）＞0，构造g（x）＝. 6.2.1　导数与函数的单调性 题型三　构造函数比较大小 [例3]　（1）设a＝，b＝（4－ln 2），c＝，则a，b，c的大小关系是（　　） A.b＜c＜a B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.a＜b＜c 6.2.1　导数与函数的单调性 （2）已知定义在R上的函数f（x）满足f'（x）－2f（x）＞0，则下列大小关系正确的是（　　） A.f（2）＞e2f（1）＞e3f B.e2f（1）＞f（2）＞e3f C.e2f（1）＞e3f＞f（2） D.f（2）＞e3f＞e2f（1） 6.2.1　导数与函数的单调性 [解析]　（1）①先比较a，c：a＝＝，c＝，设函数f（x）＝， 则f'（x）＝＜0，得函数f（x）在（0，2）上单调递减，f'（x）＝＞0，得函数f（x）在（2，＋∞）上单调递增，所以f（）＜f，即c＜a； 6.2.1　导数与函数的单调性 ②再比较b，c：由①知fmin（x）＝f（2）＝＜f（）＝c， 而b＝＝，设h（x）＝，h'（x）＝－， 当0＜x＜，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x＞，h'（x）＜0，h（x）单调递减， 所以b＝h＜h（x）max＝h＝e，而e＜·e＝＜f（）＝c， 所以b＜c，故选A. 6.2.1　导数与函数的单调性 （2）构造函数g（x）＝，其中x∈R，则g'（x）＝＞0， 所以，函数g（x）为R上的增函数， 所以，g＜g（1）＜g（2），即＜＜， 因此，e3f＜e2f（1）＜f（2）.故选A. [答案]　（1）A　（2）A 6.2.1　导数与函数的单调性 　　构造函数的主要依据有两个：一是直接根据所涉及