6.1.2 第1课时 瞬时变化率与导数（课件PPT）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

单击此处添加文本具体内容 第六章　导数及其应用 6.1.2　导数及其几何意义 第1课时　瞬时变化率与导数 [学习任务] 1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义. 2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率. 3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法. 第1课时　瞬时变化率与导数 [对应学生用书第42页] 知识点一　瞬时速度与瞬时变化率 1.物体运动的瞬时速度 　　设物体运动位移与时间的关系是s＝f（t），当 　Δt无限接近于0　⁠时，函数f（t）在t0到t0＋Δt之间的平均变化率 　　⁠趋近于某个常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度. Δt无限接近于0　 　 第1课时　瞬时变化率与导数 2.函数的瞬时变化率 　　设函数y＝f（x）在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率. 记作：当Δx→0时，→k. 上述过程，通常也记作 　＝k　⁠. ＝k 第1课时　瞬时变化率与导数 一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是 （　　） A.－3 B.3 C.6 D.－6 解析　当Δt趋于0时，式子－3Δt－6趋于－6. 答案　D 第1课时　瞬时变化率与导数 知识点二　y＝f（x）在x＝x0处的导数 1.函数y＝f（x）在x＝x0处的导数定义式： f'（x0）＝. 2.实质：函数y＝f（x）在x＝x0处的导数即函数y＝f（x）在x＝x0处的 　瞬时变化率　⁠. 瞬时变化率　 第1课时　瞬时变化率与导数 [思考]　如何求函数f（x）在点x0处的导数？是变量还是常数？ [提示]　计算＝，取极限得导数f'（x0）＝，所求函数f（x）在点x0处的导数为f'（x0）是一个常数值，与x0的取值有关的常数值，不是变量. 第1课时　瞬时变化率与导数 [对应学生用书第42页] 探究一　求瞬时速度 [例1]　若一物体的运动方程为s＝ （路程单位：m，时间单位：s）.求： （1）物体在t＝3到t＝5这段时间内的平均速度； （2）物体在t＝1时的瞬时速度. 第1课时　瞬时变化率与导数 [解]　（1）因为Δs＝3×52＋2－（3×32＋2）＝48，Δt＝2， 所以物体在t＝3到t＝5这段时间内的平均速度为 ＝＝24（m/s）. 第1课时　瞬时变化率与导数 （2）因为Δs＝29＋3[（1＋Δt）－3]2－29－3×（1－3）2 ＝3（Δt）2－12Δt， 所以＝＝3Δt－12， 则物体在t＝1时的瞬时速度为 s'（1）＝＝（3Δt－12）＝－12（m/s）. 第1课时　瞬时变化率与导数 　　（1）不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致解题无从下手的常见错误. （2）求运动物体瞬时速度的三个步骤 ①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）； ②求平均速度＝； ③求瞬时速度v＝. 第1课时　瞬时变化率与导数 1.一质点按规律s（t）＝at2＋1做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），若该质点在t＝2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. 解　因为Δs＝s（2＋Δt）－s（2）＝a（2＋Δt）2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a（Δt）2， 所以＝4a＋aΔt，故在t＝2时， 瞬时速度为s'（2）＝＝4a（m/s）. 由题意知，4a＝8，所以a＝2. 第1课时　瞬时变化率与导数 探究二　求函数在某点处的导数 [例2]　（1）设函数f（x）在点x0附近有定义，且有f（x0＋Δx）－f（x0）＝aΔx＋b（Δx）2（a，b为常数），则 （　　） A.f'（x）＝a B.f'（x）＝b C.f'（x0）＝a D.f'（x0）＝b （2）求函数f（x）＝在x＝1处的导数. [解析]　（1）f'（x0）＝＝（a＋bΔx）＝a. 第1课时　瞬时变化率与导数 （2）由导数的定义知，函数在x＝1处的导数 f'（1）＝， 而＝＝， 又＝，所以f'（1）＝. [答案]　（1）C　（2）见解析 第1课时　瞬时变化率与导数 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 （1）求因变量的改变量Δf＝f（x0＋Δx）－f（x0）； （2）求平均变化率＝； （3）求极限. 第1课时　瞬时变化率与导数 2.求函数y＝在x＝2处的导数. 解　∵Δy＝－＝－1 ＝－， ∴＝－. ∴f'（2）＝＝－＝－1. 第1课时　瞬时变化率与导数 探究三　瞬时变化率的实际应用 [例3]　已知某产品的总成本函数为C＝2Q2＋Q＋3，总成本函数在Q0处导数f'（Q0）称为在Q处的边际成本，用MC（Q0）表示.求边际成本