第5章 数列 章末优化提升（课件PPT）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

单击此处添加文本具体内容 第五章　数列 章末优化提升 [对应学生用书第36页] 点击图片放大 章末优化提升 考点一　等差、等比数列的基本运算 [例1]　已知等比数列{an}中，a1＝1，a6＝16a2. （1）求数列{an}的通项公式； 章末优化提升 （2）若数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝255，求m的值. [解]　（1）因为在等比数列{an}中，a1＝1，a6＝16a2， 数列公比满足q4＝＝16，所以q＝±2. 当q＝2时，an＝1·2n－1＝2n－1； 当q＝－2时，an＝1·（－2）n－1＝（－2）n－1. 章末优化提升 解得m＝8； 当q＝－2时，Sm＝＝255，无正整数解，不符合题意.所以m＝8. （2）当q＝2时，Sm＝＝2m－1＝255， 章末优化提升 　　在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d或q，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量.当然在求解中若能运用等差（比）数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用. 章末优化提升 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a3＝8，S4＝3a3＋1，数列{bn}满足bn＝λan（λ≠0）. （1）若λ＝2，求数列{bn}的前n项和Tn； （2）若b1，b3，bt（t＞3，且t∈N*）成等比数列，求t. 章末优化提升 解　（1）设等差数列{an}的公差为d， 则有 整理得解得d＝2，所以an＝2n－1. 由bn＝2an，可知b1＝2a1＝2，bn＋1－bn＝2an＋1－2an＝2d＝4， 则数列{bn}是首项b1＝2，公差为4的等差数列， 所以Tn＝2n＋×4＝2n2. 章末优化提升 （2）由b1，b3，bt成等比数列，则有＝b1bt， 因为bn＝λan，所以（λa3）2＝（λa1）·（λat）. 因为λ≠0，所以整理得＝a1at， 则有52＝1·（2t－1），解得t＝13. 章末优化提升 考点二　等差、等比数列的判定 [例2]　设关于x的一元二次方程anx2－an＋1x＋1＝0（n＝1，2，3，…）有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3，a1＝. （1）试用an表示an＋1； 章末优化提升 （2）求证：数列是等比数列. [解]　（1）由根与系数的关系，知 代入6α－2αβ＋6β＝3，得－＝3， 化简得an＋1＝an＋. 章末优化提升 （2）证明：因为an＋1＝an＋，所以an＋1－＝. 又a1－＝≠0，所以an－≠0， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 章末优化提升 判断和证明数列是等差（比）数列的方法 （1）定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an为与正整数n无关的常数. （2）中项公式法： ①若2an＝an－1＋an＋1（n∈N＋，n≥2），则{an}为等差数列. ②若＝an－1an＋1（n∈N＋，n≥2且an≠0），则{an}为等比数列. 章末优化提升 （3）通项公式法：an＝kn＋b（k，b是常数）⇔{an}是等差数列；an＝c·qn（c，q为非零常数）⇔{an}是等比数列. （4）前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn（A，B为常数，n∈N＋）⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A（A，q为常数且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋）⇔{an}是公比不为1的等比数列. 章末优化提升 2.记Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{an}是等差数列. 章末优化提升 证明　∵数列{}是等差数列， 设公差为d， 则d＝－＝－＝， ∴＝＋（n－1）＝n（n∈N*）， ∴Sn＝a1n2（n∈N*）， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a1n2－a1（n－1）2＝2a1n－a1， 章末优化提升 当n＝1时，2a1×1－a1＝a1，满足an＝2a1n－a1， ∴{an}的通项公式为an＝2a1n－a1（n∈N*）， ∴an－an－1＝（2a1n－a1）－[2a1（n－1）－a1]＝2a1， ∴{an}是等差数列. 章末优化提升 考点三　等差、等比数列的性质及应用 [例3]　（1）等差数列{an}的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11∶9，则公差d，的值分别是 （　　） A.8， B.9， C.9， D.8， 章末优化提升 （2）在等差数列{an}中，3（a3＋a5）＋2（a7＋a10＋a13）＝24，则该数列的前13项和为 （　　） A.13 B.26 C.52 D.156 章末优化提升 [解析]　（1）设S奇＝a1＋a3＋…＋a15，S偶＝a2＋a4＋…＋a16