4.3 等比数列-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3　等比数列 知识点一　等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1) . 知识点二　等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 知识点三　等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝ a1qn－1 ＝am qn－m(n、m∈N*)． 知识点四　等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)下标和公式：若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 知识点五　等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 知识点六　等比数列前n项和的性质 数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 【题型目录】 题型一、等比数列中的基本运算 题型二、等比中项及应用 题型三、等比数列的性质及其应用 题型四、等比数列的判定与证明 题型五、等比数列前n项和公式的基本运算 题型六、等比数列前n项和的性质 题型七、利用错位相减法求数列的前n项和 题型一、等比数列中的基本运算 1．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 2．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 3．在各项为正的递增等比数列中，，，则（     ） A． B． C． D． 4．在等比数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝8，求an； (2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 题型二、等比中项及应用 5．等差数列的公差是2，若 成等比数列，则的前 项和（ ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．已知，若2是与等比中项，则的最小值为_____ 题型三、等比数列的性质及其应用 8．若等比数列的各项均为正数，，，则（    ） A． B． C．12 D．24 9．在等比数列中，是关于的方程的两个实根，则（      ） A． B． C． D． 10．等比数列的各项均为正数，且，则_____. 题型四、等比数列的判定与证明 11．已知数列满足，． （1）证明：是等比数列； （2）求数列的前n项和． 12．已知数列满足：. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项； （2）求数列的前项和. 13．在数列中，，，（且）. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 题型五、等比数列前n项和公式的基本运算 14．设等比数列的前项和为，若，则（     ） A．1023 B．511 C． D． 15．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______ 16．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.”请问前三天走了______里. 17．设是等比数列的前项和，，且、、成等差数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的最大值. 题型六、等比数列前n项和的性质 18．记等比数列的前项和为，若，，则（     ） A．12 B．18 C．21 D．27 19．已知数列满足：，，为数列的前项和，则___________. 20．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12=（ ） A．40 B．60 C．32 D．50 题型七、利用错位相减法求数列的前n项和 21．已知数列