专题07 向量基本定理与向量的坐标（精讲）-2022-2023学年高一数学常见考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

专题07 向量基本定理与向量的坐标（精讲） 知识梳理 一 向量基本定理 1．共线向量基本定理数乘向量 一般地，有如下共线向量基本定理： 如果且,则存在唯一的实数入，使得. 在共线向量基本定理中： （1) 时，通常称为能用表示。 （2)其中的“唯一”指的是，如果还有,则有. 这是因为：由可知,如果,则,与已知矛盾，所以 ,即. 2．平面向量基本定理 一般地，有如下平面向量基本定理： 如果平面内两个向量与不共线，则对该平面内任意一个向量,存在唯一的实数对,使得 . 平面向量基本定理中，当与不共线时，“唯一的实数对”指的是用表示时，表达式唯一，即如果 ,那么. 基底：平面向量基本定理是说，在给定的平面内，当向量与不共线时，任意一个向量,都可以写成与的线性运算（简称为用与表示向量),而且表达式唯一，因此，平面内不共线的两个向量与组成的集合,常称为该平面上向量的一组基底，此时如果,则称为在基底下的分解式。 二 直线上向量的坐标及其运算 1．直线上向量的坐标 给定一条直线以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知，对于直线上的任意一个向量,一定存在唯一的实数,使得，此时，称为向量的坐标。 值得注意的是，如果直线上向量的坐标为,则既能刻画的模，也能刻画向量的方向。事实上，此时; 而且：当时，的方向与的方向相同；当时，是零向量；当时，的方向与的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定。 2．直线上向量的运算与坐标的关系 （1）假设直线上的两个向量，的坐标分别是，即：，。 当时，有，由是单位向量可知，反之结论也成立，这就是说，直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等。 （2）数轴上两点之间的距离公式：（） （3）数轴上的中点坐标公式： 三 平面向量的坐标及其运算 1．平面向量的坐标 如果平面向量的基底中，，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解。 一般地，给定平面内两个互相垂直的单位向量，对于平面内的向量，如果，则称 为向量的坐标，记作 2．平面上向量的运算与坐标的关系 假设平面上两个向量，满足，则 （1）； （2）； （3），； （4），； 3．平面直角坐标系内两点间距离公式与中点坐标公式 设为平面直角坐标系中的两点，其中点为M,则 （1） （2） 4．平面平行的坐标表示 ； 常见考点 考点一 基底的概念及辨析 典例1．（2022·上海·华东师范大学附属周浦中学高一期末）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式1-1．（2022·全国·高一课时练习）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式1-2．（2022·全国·高一专题练习）如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式1-3．（2022·福建·三明一中高一阶段练习）已知向量是平面内的一组基底，则下列四组向量中也能作为平面向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 考点二 平面向量基本定理的应用 典例2．（2022·广东·高三阶段练习）在平行四边形ABCD中，设，，，，则＝（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（2022·广东·高三阶段练习）在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（2022·贵州·高三阶段练习（理））在中，点在边上，.记，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（2022·四川资阳·一模（理））如图，，为以的直径的半圆的两个三等分点，为线段的中点，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 考点三 直线上向量的坐标及运算 典例3．（2021·全国·高一专题练习）直线上向量，的坐标分别为-3，5，则向量的坐标和模分别是（    ） A．-19，19 B．21，21 C．-19，5 D．1，1 变式3-1．（2021·全国·高一专题练习）如图所示，向量，的坐标分别是（    ） A．-3，2 B．-3.4 C．2，-2 D．2，2 变式3-2．（2022·全国·高二专题练习）已知数轴上两点A，B的坐标分别是-4，-1，则（    ） A．-3 B．3 C．6 D．-6 变式3-3．（2021·全国·高一专题练习）已知为直线l上的一个单位向量，向量与都是直线l上的向量，且，，则的坐标分别为（ ） A．3，-2 B．3，2 C．-3，2 D．-3，-2 考点四 平面向量有关概念的坐标表示 典例4．（2022·湖北宜昌·高一阶段练习）已知点，向量，则（    ） A．