6.2.2直线上向量的坐标及其运算（同步课件）数学人教B版必修第二册

6.2 向量基本定理与向量的坐标6.2.2 直线上向量的坐标及其运算 第6章 平面向量初步 新知探索 本小节我们考察所有始点与终点都在同一条直线上的向量.我们约定，直线上的向量特指始点与终点都在这条直线上的向量. 给定一条直线以及这条直线上一个单位向量，由共线向量基本定理可知，对于直线上的任意一个向量，一定存在唯一的实数，使得，此时，称为向量的坐标. 值得注意的是，如果直线上向量的坐标为，则既能刻画的模，也能刻画向量的方向.事实上，此时；而且：当时，的方向与的方向相同；当时，是零向量；当时，的方向与的方向相反.也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定. 新知探索 直线上向量的坐标还可以按如下方式来直观理解：如下图所示，在直线上指定一点作为原点，以的方向为正方向，的模为单位长度建立数轴，对于上的任意一个向量，如果我们把它的始点平移到原点，那么的终点对应的数就是向量的坐标. 上图中，向量的坐标为.特别地，的坐标为. 新知探索 为了方便起见，以后谈到直线上向量的坐标时，总是默认为已经按照上述方式指定了单位向量，并建立了数轴；而且，谈到数轴时，也默认为已经指定了与数轴正方向同向的单位向量.此时：如果数轴上一点对应的数为(记为，也称点的坐标为)，那么向量对应的坐标为；反之，这一结论也成立. 因此，为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种： (1)将向量用单位向量表示出来； (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标. 例析 例1 如图所示，求出直线上向量，的坐标. 解 因为的始点在原点，所以由的终点坐标可知的坐标为_________. 因为，所以的坐标为. 新知探索 尝试与发现：直线上的向量有了坐标之后，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系？ 假设直线上两个向量的坐标分别为，即. 当时，有，由是单位向量可知；反之，结论也成立.这就是说，直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等. 另外，因为，所以的坐标是，这就是说，直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和. 类似地，可以得出，如果，是两个实数，那么的坐标为，的坐标为____________. 例析 例2 已知直线上向量的坐标为，的坐标为，求下列向量的坐标： (1)；(2)；(3). 解(1) 的坐标为. (2)的坐标为. (3)的坐标为. 新知探索 利用上述直线上向量的运算与坐标之间的关系，由数轴上任意两点的坐标，我们可以求出它们之间的距离，以及它们中点的坐标. 事实上，设，是数轴上两点，为坐标原点，则， ，因此，所以不难看出 . 这就是数轴上两点之间的距离公式. 新知探索 另外，假设是线段的中点， 则， 又因为，所以 . 这就是数轴上的中点坐标公式. 例析 例3 设数轴上两点，的坐标分别为，，求： (1)向量的坐标，以及与的距离； (2)线段中点的坐标. 解(1) 由题意得的坐标为，的坐标为， 又因为，所以的坐标为， 而且. 解(2) 设线段中点的坐标为，则. 练习 题型一：用坐标表示平面向量 例1.已知，则下面说法正确的是( ). 点的坐标是 点的坐标是 当点是原点时，点的坐标是 当点是原点时，点的坐标是 答案：. 解：由平面向量的坐标表示可知，当点是原点时，点的坐标是. 练习 方法技巧： 求直线上向量的坐标，有如下两种方法： (1)将向量用单位向量表示出来； (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标. 练习 (多选)变1.设一次函数(为常数)的图象为直线，那么直线的一个方向向量可以为( ). 答案：. 在直线上取两点，，则直线的一个方向向量为 . 对于，，所以选项不是的方向向量；对于，显然是方向向量； 对于，，选项不是方向向量； 对于，，选项是方向向量. 故选. 练习 题型二：由向量共线(平行)求参数 例2.若三点共线，则( ). 答案：. 解：因为三点共线，所以， 由题意得，， ∴，解得. 故选. 练习 方法技巧： 一般地，有如下共线向量基本定理： 如果且，则存在唯一的实数，使得. 练习 变2.已知向量，，若，则( ). 答案：. 根据题意，若，则，即， 解得. 故选. 课堂小结 直线上向量的坐标及其运算 给定一条直线以及这条直线上一个单位向量，由共线向量基本定理可知，对于直线上的任意一个向量，一定存在唯一的实数，使得，此时，称为向量的坐标. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P165的练习，练习. 谢谢学习 Thank you for learning $$