9.10统计概率和其他专题综合（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

9.10 统计概率和其他专题综合 【题型解读】 【题型精讲】 【题型一　统计概率和函数综合】 例1　 （2022·华师大二附中高三练习）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于 份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验 次.二是混合检验，将 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则 份血液检验的次数共为 次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为 ，而且各体检人是否患该疾病相互独立. （1）若 ，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率; （2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案: 方案一:采用混合检验; 方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验. 若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由. 例2　为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示： 减排器等级及利润率如下表，其中． 综合得分的范围 减排器等级 减排器利润率 一级品 二级品 三级品 （1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率； （2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则： ①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望； ②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？ 【题型精练】 1. （2022·贵州省思南中学高三月考）党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有6例疑似病例，分别对其取样､检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：6个样本逐个化验；方案二：6个样本混合在一起化验；方案三：6个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”. （1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率； （2）若，现将该6例疑似病例样本进行化验，当方案三比方案二更“优”时，求的取值范围. 2．（2022·全国高三课时练习）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余.江河不可障，飒沓入敌虚”将矩形棋盘视作坐标系 ，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从 移动到 或 . （1）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率. （2）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，每一步仅向 方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段 上次数 的数学期望. 【题型二　统计概率和导数综合】 例3　（2022·四川模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为． （1）若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望； （2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值． 例4　（2022·武昌模拟）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准