2.3 函数的单调性和最值（学习讲义）-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习（北师大版）

和©程学举猫练数学播籍弼讥 §3函数的单调性和最值 第1课时函数的单调性 学习目标 1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达函数单调性的过程，培养数学抽象和直观 想象的核心索养。 2.利川特殊函数，理解函数单调性及几何意义，培养直观想象的核心素养 3.会根据函数单调性的定义，判断、证叨单调性，发楼学牛的数学抽象、逻辑推理和数学运算的核 心素养 学装知识梳理·自主探究 德情境导入 荠名的心理学家斐宾沿斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了 以下一此数据： 68 时问问隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8~9小时后 1大后 2大后 6犬后 个月后 L201A 记忆量y 10() 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 /百分比 以.数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾共浩斯根据这些数据描绘：了著名的“艾宾 沿斯遗芯曲线”，如图. 百分此 100 80 60 40 20 0 1 23 探究：(1)当时问问隔t逐渐增人时，对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个测试，以后应 如何对待刚学过的知识？ (2)“艾宾浩斯遗忘出线”从左至右是逐渐卜降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？ 58 第藏3激 (x)在区间I上具有单调性.此时，区间1 德知识探究 为函数y=f(x)的 1.增函数与减函数的定义 思考1：状一个函数行多个增（或减）的单调 区间，写函数的单调区间时应注意什么？ 增函数 诚函数 设函数y一f(x)的定义域为D,如果对于 任意的x1x∈I),当x:时：都有 f(x1) f(x） f(x) f(2） 思考2：如果f(x)布区问[a,b]和(6，c]上都 定义那么就称函数y 那么就称函数y 是增函数，则∫(x)在区问[a,c]上是增函 f(x)是减函数，特 f()是 ,特 数吗？ 别地，当！是定义 别地，当I是定义域 域D上的一个区问 D上的一个×问时， 时，也称函数y= 也称函数y=(x)在 ∫(x)在区间I上 区间1上 函数f(x)在区问1)函数f(x)在区间 图象 上的图象从左往右看 D上的图象从左往 华拓展总结 特祉用 石看 (1)函数单调性定义的袋价形式：设x1,x:∈[a,们，x1 yf)y) ≠x2.若有(x1一x）C(x1）一f(x2)门0或 x fix.) x)一f(x2>0,则通数f(x)在间区河La,]小是 31 -Y=f(x) 谱函数；若有（x)[f(1)f(xe)]0或 图象 示例 八x,) fx)2<0,则函数f(x)在伐这间[a,]上是 y=f八x) f fx) 减函数， 少=fx) (2)对于单独一点，由于它的函数值是唯一确定的等 1 数，没有增减交化，实以不存在单湖性问题，因此在书 写单提区问时，可以包括端点，也可以不包括端点，但 2.函数的单调性 在某些点无意义时，单调区问不能包活这些点. 如果函数y=f(x)在区间I.: 或 那么就称函数y= 59 离中全程学习导与练数学些的强一册230 的的的的的师生互动合作探究____ @探究点二、函数单调性(或单调区间)的探究点二证明函数的单调性 确定[例2]已知函数f(x)--r [例1]求下列函数的单调区间，并指出该函数求f(x)的定义域； 在其单调区间上单调递增还是单调递减。 （2)判断函数f(x)在区间(1，+∞)上的单 （1)f(x)=-1(2)f(x)=+1x≥1，调性，并加以证明． `5-x.x<1； （3)f(x)=-x^2+2|x—3. ………………………………………………… …………·………………‰…………… …………………………………………… ……………。……………………………………… …………………。……………………………… …··…………………………………… ………………………………………………………。 ………………………………………… ……………………………_……… ……………………………………………_………… 9方法总结… …………。…。………………………………… 根据函数解析式求函数单调区间的方法 0方法总结……----- （1)利用基本初等函数的单调性，如一次函数的单调利用定义其断或证明函数单调性的步骤 性由一次项系数的符号确定，二次函数的单调性由二取值设x_1x_2是该区间内的任意两个值， 次项系数以及二次函数的对称轴确定等．且x，<x_2_—_____ （2)如函数的单调性不能由解析式直接确定，也可以作差f(x)-f(x，)或f(x，)-f(x)，并通过 作差八—因式分解，配方，有理化等方法，向 作出函数的图象，和原函数的图象确定函数的单调 变形．|便于判断差的符号的方向变形， 区问． 易错警示：若所求出函数的单调递增区间或单调递减一般化为积的形式__