3.1&3.2 指数幂的拓展 指数幂的运算性质（学习讲义）-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习（北师大版）

落腿数运到游数游制 指数运算与指数函数 §1指数幂的拓展 §2指数幂的运算性质 学习目标 1.通过指数幂拓楼的学习，理解次方根及根式的概念，能正确运用根式运算性质进行运算，培 养数学抽象的核心素养. 2.理解分数指数幂的含义，学握根式与分数指数幂的互化，培养数学运竹的核心萦养. 3.掌掃有理数指数幂的运算性质，培养数学运算的核心素养 蕊 知识梳理·自主探究装 思考1：在分数指数幂与根式的互化公式 德情境导入 a=vam,为什么必须规定0？ 牛倾是大家所熟悉的物理学：家，但你 道他数学上的贡献吗？他作写给莱布尼 次的信里面说：“囚为数学家将aa,aaa, aaaa等写成a2,a3,a4$,所以可将a, 思考2：分数指数幂a能理解为个a相乘 g…写成aa…:将。d ,…写 吗？划何理解其意义呢？ 成a1,a,a3,….”止是山于牛倾的这一 发现，才使得正整数指数幂推广到了任意实 数指数幂.本节我们就一起米探究一下指数 幂的扩充过程。 2.指数幂的运算性质 对于任意止数a,b和实数a,3,实数指数幂 慰知识探穷 均满足下面的运算性质， 1.分数指数幂的意义 (1)a"·a=a“-. I LENPE-MML 纷定正数a和正整数，(n1, (2)(u)8-u. 且m,n红素)，若存在唯一的k (3)(ab)=a6。 正分数 数6，使得b”-a",则称b为a的 举拓展总结 分 折数松 次幂，记作b=a“.规 (1)根式及相关概念， 数 定：a处=Vam(a0,m,H∈N1, ①a的n次方根.如果x”一a,那么x叫作a的n次方 指 1且n,n互素) 根，其中≥>1，且n∈N1. 数 ②a的n次方根的表示. 负分数 规定：a号 a (L0,2, f.Iuin-w.ruinnw 不 n的奇偶性a的n次方晨的表示符号：的瑕值范围 指数幂 n∈N+,n1且n,n百.素） r. 为青数 va K 0的分数0的止分数指数容等于 为周数 +Va [0,+x) 指数幂0的负分数指数幂 意义 77 和©程学港猫练数学谱薨册 ③浪式.式工a叫作根式，这n叫作根指效，a叫作 L,a0, ②为属数时，a"-a- 被开方数。 a,a(0. (2)根式的性质(>1，层n∈N,). ③0-0. ①n为奇效时，a”=a. ①负数没有偶次方根。 点 师生互动·合作探究紫兰 篱探究点一根式与分数指数幂 [针对训练]化简：(1)V(x-π)(x元，n∈N+); (2)/(x+2)4. [例1](1)化简下列各式： ①/(-2)F+(-2):②-2)°+ (2)5. (2)若一3<x3,求√x2-2x+1 /x2+6x+9的值、 68 探究点二 指数幂的运算性质 1201A [例2]化简求位： (1)(u-2b-3)·(-1u-1b)÷(12a-1bc); 方法总结 (1)(a)n与a的理斜.(a)”是实数a的次方浪 --6语-， 的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性来决定， 当n为大于1的奇数时，(a)"-a(a∈R);当n为大 (3)0.0081e-[3×(8)]× 于】的偶效时，(a)”=a(a0).而Va”是实数a”的 1+3)门 8 10×0.(027 ”次方根，是一个恒有意义的式子，不受”的奇国性 的服制，因此a∈R,但是该式子的们受n的夸偶性跟 1an=23-1,k∈N,且1， 制，石-1a14-2,k∈Nt: (2)根式化简的恩想是将液式有理化，利月根式的性 质和乘法公式（完全平方公式、立方和（差）公式)，将 所求代数式通过治当老变形，达到化繁为简的目的. (3)在解决有关根式、纶对值、分式等问题时·-定要 仔细观察、分析根号下式子的特征，为使开偶次方后 不出现符号锴误，一定要先乐绝对值号表示，然后利 甲已知条件去绝对值号，对于题目没有明确给出条件 的要进行分类讨论 78 落齼橱数运到游藏游激 学方法总结 -- 指数暴运算的常用技巧 探究点三 实数指数幂及其运算 (1)有括号先算括号昱的，无特号先进行指数运算. [例3]已知a十a=4,求下列各式的值： (2)负指数累化为正指数幂的倒数. (1)a-a3;(2)a2+2;(3)a十at. (3)底数是小数·先要化成分数：底数是带分数，要先 化成假分效，然后要尽可能乐银的形式表示，便于用 指数幂的运算性质。 易错警示：化简的结果不能同时含有根式和分数指 数，也不能瑟含有分母又含有负指数. [针对训练]化简求值： 18-(-8’-派3-+[(-2] 0.1)1(a63)（a>0,b>0): (8)p×-(v22)-1X(8) 缈方法总结 实数指数幂中的条件求值可题的解法 实数指数幂中的条件求位问题应结合已知条件与侯 t2X8.5-(-2022)0. 求式的结构诗征，将徐求式转化巴知条件式或将已 知条件式转化为待京式