4.1.3独立性与条件概率的关系-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教B版2019选择性必修第二册）

4.1.3独立性与条件概率的关系 思考：从必修的内容我们已经知道，A与B相互独立（简称为独立）的充要条件是 而且A与B独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. 那么，这个直观理解的数学含义是什么呢？ 考察独立性与条件概率的关系可以得出相互独立的直观理解. 思考：假设 且 ，在A与B独立的前提条件下，通过条件概率的计算公式考察 与 的关系，以及 与 的关系. 当 且 时，由条件概率的计算公式有 即 这就是说，此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等. 也就是事件B的发生，不会影响事件A发生的概率. 类似地，可以看出，如果 ， 那么一定有 因此，当 时，A与B独立的充要条件是 这也就同时说明，当 时，事件B的发生会影响事件A发生的概率，此时A与B是不独立的.事实上，“A与B独立”也经常被说成“A与B互相不影响”等. 学生笔记 4.1.3独立性与条件概率的关系 当 时，A与B独立的充要条件是 知识点回顾 必修课本中我们学习过， 互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式. 特点 概率公式 互斥事件 不可能同时发生的两个事件 对立事件 两个事件不可能同时发生，但必有一个发生 相互独立事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响 例1：已知某大学数学专业二年级的学生中，是否有自主创业打算的情况如下表所示. 由题意可知，所有学生的人数为16+15+64+60=155. 从这些学生中随机抽取一人： （1）求抽到的人有自主创业打算的概率； 男生/人 女生/人 有自主创业打算 16 15 无自主创业打算 64 60 记A为“抽到的人有自主创业打算”，B为“抽到的人是女生”. （1）因为有自主创业打算的人数为16+15=31，所以抽到的人有自主创业打算的概率为 例1：已知某大学数学专业二年级的学生中，是否有自主创业打算的情况如下表所示. （2）因为女生人数为所有学生的人数为15+60=75，所以抽到的人是女生的概率为 从这些学生中随机抽取一人： （1）求抽到的人有自主创业打算的概率； 男生/人 女生/人 有自主创业打算 16 15 无自主创业打算 64 60 （2）求抽到的人是女生的概率； 例1：已知某大学数学专业二年级的学生中，是否有自主创业打算的情况如下表所示. 从这些学生中随机抽取一人： （1）求抽到的人有自主创业打算的概率； 男生/人 女生/人 有自主创业打算 16 15 无自主创业打算 64 60 （2）求抽到的人是女生的概率； （3）若已知抽到的人是女生，求她有自主创业打算的概率； （3）所要求的是 ，注意到75名女生中有15人有自主创业打算，因此 例1：已知某大学数学专业二年级的学生中，是否有自主创业打算的情况如下表所示. 从这些学生中随机抽取一人： （1）求抽到的人有自主创业打算的概率； 男生/人 女生/人 有自主创业打算 16 15 无自主创业打算 64 60 （2）求抽到的人是女生的概率； （4）判断“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”是否独立. （3）若已知抽到的人是女生，求她有自主创业打算的概率； （4） 因此“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”独立. 多个事件之间的相互独立也可借助条件概率来理解， “ 相互独立”也可说成“ 相互不影响”. 实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若可认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立； 已知事件相互独立时，根据每个事件发生的概率可以方便地求出它们同时发生的概率. 例2：已知甲、乙、丙3人参加驾照考试时，通过的概率分别为0.8，0.9，0.7，而且这3人之间的考试互不影响.求： （1）甲、乙、丙都通过的概率； （2）甲、乙通过且丙未通过的概率. （1）甲、乙、丙都通过可用ABC表示，因此所求概率为 用A，B，C分别表示甲、乙、丙驾照考试通过，则可知A，B，C相互独立，而且 （2）甲、乙通过且丙未通过可用 表示，因此所求概率为 用A,B,C分别表示甲、乙、丙能正常工作,D表示系统能够正常工作. 例3：在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部