9.8离散型随机变量及其分布列、数字特征（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

9.8 离散型随机变量及其分布列、数字特征 【题型解读】 【知识储备】 1．离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 3．离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)； ②p1＋p2＋…＋pn＝1. 4．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 5．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 常用结论 均值与方差的四个常用性质 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2. (4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 【题型精讲】 【题型一　分布列的性质】 必备技巧 离散型随机变量的分布列性质的应用 （1）利用“总概率之和为”可以求相关参数的取值范围或值； （2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率； （3）可以根据性质及，判断所求的分布列是否正确． 例1　 （2022·华师大二附中高三练习）设离散型随机变量的分布列为： 则（    ） A． B． C． D． 例2　已知随机变量X的概率分布为，则实数______． 【题型精练】 1. （2022·河南高三月考）随机变量X的分布列为 X P 若，，成等差数列，则公差的取值范围是______． 2．（2022·全国高三课时练习）设随机变量的分布列为，则___________. 【题型二　求离散型随机变量的分布列】 例3　（2022·四川模拟）一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（    ） A． 1 2 3 B． 1 2 3 4 C． 1 2 3 D． 1 2 3 例4　（2022·武昌模拟）设某人有5发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完． (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X的分布列． 【题型精练】 1．（2022·石家庄模拟）甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为. (1)求; (2)求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望. 2. （2022·临沂二模）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下： ， ， 大于2000 仅使用 18人 9人 3人 仅使用 10人 14人 1人 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 【题型三　离散型随机变量的均