2019-2020学年上海各区一模压轴题分类汇编-24题

专题 2020年上海各区分类汇编-24题 专题一 二次函数与角度问题 【历年真题】 1．（2019秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x 轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）联结AC、BC，求∠ACB的正切值； （3）点P在抛物线上，且∠PAB＝∠ACB，求点P的坐标． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】分类讨论；解直角三角形及其应用；运算能力． 【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c即可； （2）如图1，过点A作AH⊥BC于H，分别证△OBC和△AHB是等腰直角三角形，可求出CH，AH的长，可在Rt△AHC中，直接求出∠ACB的正切值； （3）此问需分类讨论，当∠PAB＝∠ACB时，过点P作PM⊥x轴于点M，设P（a，﹣a2+2a+3），由同角的三角函数值相等可求出a的值，由对称性可求出第二种情况． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中， 得， 解得，b＝2，c＝3， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴OC＝OB＝3， ∴△OBC为等腰直角三角形，∠OBC＝45°， ∴BC＝OC＝， 如图1，过点A作AH⊥BC于H，则∠HAB＝∠HBA＝45°， ∴△AHB是等腰直角三角形， ∵AB＝4，∴AH＝BH＝AB＝2， ∴CH＝BC﹣BH＝， ∴在Rt△AHC中，tan∠ACH＝＝＝2， 即∠ACB的正切值为2； （3）①如图2，当∠PAB＝∠ACB时，过点P作PM⊥x轴于点M， 设P（a，﹣a2+2a+3），则M（a，0）， 由（1）知，tan∠ACB＝2， ∴tan∠PAM＝2，∴＝2，∴＝2， 解得，a1＝﹣1（舍去），a2＝1， ∴P1（1，4）； ②取点P（1，4）关于x轴的对称点Q（1，﹣4），延长AQ交抛物线于P2，则此时∠P2AB＝∠PAM＝∠ACB， 设直线PQ的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），Q（1，﹣4）代入， 得，， 解得，k＝﹣2，b＝﹣2，∴yAQ＝﹣2x﹣2， 联立，， 解得，或， ∴P2（5，﹣12）； 综上所述，点P的坐标为（1，4）或（5，﹣12）． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用． 2．（2019秋•闵行区期末）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物 线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结BC，求∠BCO的余切值； （3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P的坐标． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】分类讨论；解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想． 【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可； （2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出； （3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：， 解得：，， ∴这条抛物线的表达式为； （2）令y＝0，那么， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣1， ∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0）， ∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2， 在Rt△OBC中，∠BOC＝90°， ∴； （3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|． ∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO， 在Rt△EOC中，∴， ∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0）， ∵点C坐标是（0，2），∴：或， ∴，或 解得和（舍去），或和（舍去）； ∴点P坐标是（，）或（，）． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数等，解题关键是在求点E坐标时需注意可在x轴的正半轴，也可在负半轴． 3．（2019秋•静安区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y＝ax2+bx+c （其中a、b、c是常数，且a≠0）的图象经过点A（0，﹣3）、B（1，0）、C（3，0），联结 AB、AC． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果S△ABD：S△BCD＝3：2，求tan∠DBC的值； （3）如果点E在该二次函数图象的