2019-2020学年上海各区一模压轴题分类汇编-23题

专题 2020分类汇编-23题 专题一 相似三角形之等量代换 【历年真题】 1．（2019秋•奉贤区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB 的延长线上，联结CE、EF，CE2＝DE•CF． （1）求证：∠D＝∠CEF； （2）联结AC，交EF于点G，如果AC平分∠ECF，求证：AC•AE＝CB•CG． 【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．版权所有 【专题】证明题；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力． 【分析】（1）根据CE2＝DE•CF且∠DEC＝∠ECF可证明△CDE∽△CEF，即可得结论； （2）根据AC平分∠ECF，AD∥BC，可得∠EAC＝∠ECA，进而得E＝EC，再证明△CGE∽△CAB，对应边成比例即可． 【解答】（1）证明：∵CE2＝DE•CF，即 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECF， ∴△CDE∽△CEF， ∴∠D＝∠CEF． （2）如图所示： ∵AC平分∠ECF，∴∠ECA＝∠BCA， ∵∠D＝∠CEF，∠D＝∠B，∴∠CEF＝∠B，∴△CGE∽△CAB，∴， ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA， ∵∠ECA＝∠DAC，∴AE＝CE， ∴，即AC•AE＝CB•CG． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是综合运用平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质． 2（2019秋•浦东新区期末）如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA＝DC，∠ ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F． （1）求证：AB•AD＝DF•BC； （2）如果AE∥BC，求证：． 【考点】相似三角形的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠C，由已知∠ADE＝∠B，证明△ABC∽△FDA，得出，即可得出结论； （2）由三角形的外角性质得出∠CDF＝∠BAD，由平行线的性质得出∠E＝∠CDF，∠C＝∠EAF，证出∠BAD＝∠E，证明△ABD∽△EDA，得出，证出∠EAF＝∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM＝FN，求出，即可得出结论． 【