层级2 专题2 导学微点 构造法求数列的通项公式及开放探究性问题-2023新教材新高考数学【导学教程】大二轮专题辅导与训练

高考专题辅导与训练 导学微点 [跟踪训练] [例1][解]am+1=3am-1, 解析由a+1= an =3(u,-2） n十2，两边同时取倒数得1 an+1 .an+1一2 4n十2_2十1，则a an an +1=2(2+1) an+1 an an+1一2 =3, 1 所以数列{品+1为等比数到，则+1=(+)· an an 2m-1=2”, 1 所以a.2故a1020-11023故选C 等比数列， 答案C 13 ∴.an-22 ·3”1=3 [例4幻[解析]由已知得an+1=十 am十(n+1)·2", .an= 3”+1 2· 两边同除以n十1，得8=十2”， n+l n [跟踪训练] 解析由am+1=3am一4，可得an+1一2=3(am一2)， 设bn=aa,即bn+1-bn=2”. n 又a1=5,所以{an-2}是以a1一2=3为首项，3为公比 所以当n≥2时，bn=(bn一bn-1)十(bn-1一bm-2)十…十 的等比数列， (b2-b1)+b1=2"-1+2”-2+…+21+1=2"-1, 所以an-2=3”,所以an=3”十2. 当n=1时，也符合该式，所以bn=2m-1(n∈N*). 答案an=3”+2 [例2][解析]因为aw+1=3an一2”-1， 所以am=n·(2”-1)=n·2”-n. 所以=3.Q”_1 [答案]n·2”-n 2市22m-4’ [跟踪训练] 即21+1 解析由Sn=nam,可得当n≥2时，Sm-1=(n一 2+1一 1)2am-1 因为 =0，所以- =0,故an=2"-1. 则am=Sm-Sm-1=n2am-(n-1)2a-1,即(n2-1)an= 7-2 2n2 (n-1)2am-1, [答案]2”-1 [跟踪训练] 易知an≠0，故an=n一1， am-1n+i≥2). 解：an+1=2an一n十1， .an+1-(n+1)=2(an-n), 所以当2时a,二××8X…X× a2 al :t1-n+D=2, 1 an-n n+1 -×1 ∴.数列{am一n}是以a1-1=2为首项，2为公比的等比 2 数列， n(n+1) 当n=1时，a1=1满足am= 2 .an-n=2·2n-1=2", n(n+1) .an=2”+n. 故数列{an的通项公式为am一n(n十 2 [例3)[解析]由，+1一3.2且=一1. 答案an 2 n(n十1) 导学微点 ,+8=2(+3)+3=2 [例1][解析]由数列{Sn}是递增数列可知数列{am》 故侵十8是以2为青项2方公比的等站袋到。 从第二项起，各项都是大于零的，结合数列{am}为递减 数列，考虑{an}为公比在0到1之间的等比数列，显然， 于是+3=2·2-1，可得b,203eN, 1 符合条件（答案不唯一）. [答案] 2m-3n∈N* [答案] (分)”（答案不唯一） 193 [跟踪训练]选择条件③：设等差数列{a_n}的公差为d， 解析由题意可知，cos(x-φ)=sinx，（5×(4a1+6d)=14(2a_1+d)， 又cos(x-5)=sinx，所以可取φ-号(a_1+4d^2=2(a_1+2d)， 答案否(答案不唯一）解得a_1=1.d=2或a_1=0，d=0(不合题意)，故a。 [例2][解]（1)若选择①，解答过程如下：=“+^1. 由a_nb_m+1=nbn-b_n+1，得a_1b_2=b_1-b_2， 因为b_1=1，b_2=3，所以a_1=2. [例3][解]选①②作条件证明③： 因为a_2+a_3=a_5-b_1，所以2a_1+3d=a_1+4d-b_1， 设\sqrt{Sn}=an+b(a≥0)，则S_a=(an+b)^2， 故d=3，所以a_n=3n-1. 当n=1时，a1=S_1=(a+b)^2； 若选择②，解答过程如下：由anba+1=nbn-bn+1，得当n≥2时，an=S_n-Sn-1=(an+b)^2-(an-a+b)^2= a(2an-a+2b)； 因为{an}也是等差数列，所以(a+b)^2=a(2a-a+2b)， 因为b_1=1，b_2=3，所以a_1=2.解得b=0； 因为a_2·a_3=2a_7，所以(a_1+d)(a_1+2d)=2(a_1+6d)，所以aw=a^2(2n-1)，所以a_2=3a1· 又d>0，故d=3，所以a_n=3n-1.选①③作条件证明②： 若选择③，解答过程如下：因为a_2=3a_1，a_n}是等差数列， 由a_nbm+1=nb_n-b_n+1，得a_1b_2=b_1-b_2，所以公差d=a_2-a_1=2a_1， 因为b_1=1，b_2=3，所以a_1=2．所以Sn=na_1+””，2d=n^2a_1，即\sqrt{Sa}=\sqrt{a}_1n，