精品解析：上海市曹杨第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

曹杨二中2022学年第一学期高二年级数学期中 2022.11 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为 __． 2. 已知向量与向量垂直，则______ 3. 已知复数z满足（为虚数单位），则___________. 4. 表面积为的球的体积为______ 5. 已知圆柱高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为___________； 6. 已知正方体，则与平面所成角的正切值为______ 7. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝________. 8. 如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______ 9. 设的内角所对的边分别为，若，则角=__________. 10. 如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面后形成的.已知，，与底面所成的角为，则这个多面体的体积为_______. 11. 若不等式对任意正整数n恒成立，则实数a取值范围是______ 12. 设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，. ①直四棱柱在其各顶点处离散曲率都相等； ②若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为； ③若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为； ④若四面体在点处的离散曲率为，则平面. 上述说法正确的有______（填写序号） 二、选择题（每题5分，满分20分） 13. 设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 在空间中，直线AB平行于直线EF，直线BC､EF为异面直线，若，则异面直线BC､EF所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，以 为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直棱柱的高为（ ） A. B. C. D. 16. 已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，，P为单位圆上除A外的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则（　　） A. 有且仅有一点P使二面角取得最小值 B. 有且仅有两点P使二面角取得最小值 C. 有且仅有一点P使二面角取得最大值 D. 有且仅有两点P使二面角取得最大值 三、解答题（满分76分） 17. 如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA的中点. （1）求此圆锥的体积； （2）求异面直线PQ与SO所成角大小. 18. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC、BD相交于点O，，，平面BCF⊥平面ABCD，，点G是BC的中点. （1）求证：直线OE⊥平面ABCD； （2）若，，求点G到平面ADE的距离. 19. 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？ 20. 已知矩形 中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体. （1）求三棱锥外接球的表面积； （2）若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； （3）若的取值范围是，求二面角的取值范围. 21. 已知等差数列公差为，前n项和为. （1）若，，求的通项公式； （2）若，、、成等比数列，且存在正整数p、，使得与均为整数，求值； （3）若，证明对任意的等差数列，不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 曹杨二中2022学年第一学期高二年级数学期中 2022.11 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为 __． 【答案】平行或相交 【解析】 【分析】利用平面的基本性质求解即可. 【详解】因为直线a，b确定一个平面， 所以a，b的位置关系为平行或相交， 故答案为：平行或相交 2. 已知向量与向量垂直，则______ 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求得答案. 【详解】因为向量与向量垂直,故， 所以 ， 故答案为：3. 3. 已知复数z满足（为虚数单位），则__________