第一部分 第六章 圆 与切线性质有关的证明与计算综合集训（1-2）（精练册）-【一战成名】2022陕西中考数学考前新方案中考总复习

与切线性质有关的证明与计算综合集训（一） １．（２０１９陕西２３题８分）如图，ＡＣ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ是 ⊙Ｏ的一条弦，ＡＰ是⊙Ｏ的切线．作 ＢＭ＝ＡＢ，并与 ＡＰ交于点Ｍ，延长 ＭＢ交 ＡＣ于点 Ｅ，交⊙Ｏ于点 Ｄ， 连接ＡＤ． （１）求证：ＡＢ＝ＢＥ； （２）若⊙Ｏ的半径Ｒ＝５，ＡＢ＝６，求ＡＤ的长． 第１题图 （１）证明：（２）解：如解图，连 接ＢＣ． ∵ ＡＣ是 ⊙Ｏ 的 直 径，∴ ∠ＡＢＣ＝９０°． 在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝１０， ＡＢ＝６， ∴ＢＣ＝８． 由（１）知，∠ＢＡＥ＝∠ＡＥＢ， ∴△ＡＢＣ∽△ＥＡＭ， ∴∠Ｃ＝∠ＡＭＥ，ＡＣＥＭ＝ ＢＣ ＡＭ， ∵ＡＢ＝ＢＥ＝ＢＭ， ∴ＥＭ＝２ＡＢ＝１２， ∴１０１２＝ ８ ＡＭ，∴ＡＭ＝ ４８ ５， 又∵∠Ｄ＝∠Ｃ，∴∠Ｄ＝∠ＡＭＤ， ∴ＡＤ＝ＡＭ＝４８５． ２．（２０２１陕西５行卷）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ为⊙Ｏ的直 径，⊙Ｏ与 ＢＣ交于点 Ｄ，过点 Ｄ作⊙Ｏ的切线与 ＡＢ 交于点Ｅ，且满足ＤＥ⊥ＡＢ． （１）求证：点Ｄ是ＢＣ的中点； （２）若ＡＥ＝２槡３，⊙Ｏ的半径为３槡３，求ＢＣ的长． 第２题图 （１）证明：如解图，连接ＯＤ， ∵ＤＥ是⊙Ｏ的切线，ＤＥ⊥ＡＢ， ∴∠ＯＤＥ＝∠ＤＥＢ＝９０°， ∴ＯＤ∥ＡＢ， 又∵点Ｏ是ＡＣ的中点， ∴ＯＤ是△ＡＢＣ的中位线， ∴点Ｄ是ＢＣ的中点； （２）解：如解图，连接ＡＤ． 由（１）可知∠ＡＤＥ＋∠ＯＤＡ＝９０°， ∵ＡＣ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＤＣ＝９０°， ∴∠ＤＡＣ＋∠Ｃ＝９０°，∵ＯＡ＝ＯＤ， ∴ ∠ＤＡＣ＝∠ＯＤＡ， ∴∠ＡＤＥ＝∠Ｃ， ∴ＢＣ＝２ＣＤ＝１２槡２． ３．（２０２１泸州）如图，△ＡＢＣ是⊙Ｏ的内接三角形，过点 Ｃ作⊙Ｏ的切线交 ＢＡ的延长线于点 Ｆ，ＡＥ是⊙Ｏ的 直径，连接ＥＣ． （１）求证：∠ＡＣＦ＝∠Ｂ； （２）若 ＡＢ＝ＢＣ，ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，ＦＣ＝４，ＦＡ＝２，求 ＡＤ·ＡＥ的值． 第３题图 （１）证明：如解图，连接ＯＣ， ∵ＣＦ是⊙Ｏ的切线， ∴∠ＯＣＦ＝９０°， ∴∠ＯＣＡ＋∠ＡＣＦ＝９０°， ∵ＯＥ＝ＯＣ， ∴∠Ｅ＝∠ＯＣＥ， ∵ＡＥ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＣＥ＝９０°， ∴∠ＯＣＡ＋∠ＯＣＥ＝９０°， ∴∠ＡＣＦ＝∠ＯＣＥ＝∠Ｅ， ∵∠Ｂ＝∠Ｅ， ∴∠ＡＣＦ＝∠Ｂ； （２）解：∵∠ＡＣＦ＝∠Ｂ， ∠Ｆ＝∠Ｆ， ∴△ＡＣＦ∽△ＣＢＦ， ∴ＣＦＢＦ＝ ＡＦ ＣＦ＝ ＡＣ ＢＣ， ∵ＡＦ＝２，ＣＦ＝４，∴ ４ＢＦ＝ ２ ４＝ ＡＣ ＢＣ， ∴ＢＦ＝８，∴ＡＢ＝ＢＣ＝８－２＝６，ＡＣ＝３， ∵ＡＤ⊥ＢＣ，∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＥ＝９０°， ∵∠Ｂ＝∠Ｅ，∴△ＡＢＤ∽△ＡＥＣ， ∴ＡＢＡＥ＝ ＡＤ ＡＣ，即ＡＤ·ＡＥ＝ＡＢ·ＡＣ＝６×３＝１８                                                                     ． ７９ ４．（２０２０陕西２３题８分）如图，△ＡＢＣ是⊙Ｏ的内接三 角形，∠ＢＡＣ＝７５°，∠ＡＢＣ＝４５°．连接 ＡＯ并延长，交 ⊙Ｏ于点Ｄ，连接ＢＤ．过点Ｃ作⊙Ｏ的切线，与 ＢＡ的 延长线相交于点Ｅ． （１）求证：ＡＤ∥ＥＣ； （２）若ＡＢ＝１２，求线段ＥＣ的长． 第４题图 ∴∠ＡＣＢ＝６０°， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ＝６０°， ∵ＡＤ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＢＤ＝９０°， ∴ｓｉｎ∠ＡＤＢ＝ＡＢＡＤ＝ 槡３ ２， ∴ＡＤ＝１２×２ 槡３ ＝８槡３，∴ＯＡ＝ＯＣ＝４槡３， ∵ＡＦ⊥ＥＣ，∠ＯＣＥ＝９０°， ∠ＡＯＣ＝９０°， ∴四边形ＯＡＦＣ是矩形， 又∵ＯＡ＝ＯＣ，∴四边形ＯＡＦＣ是正方形， ∴ＣＦ＝ＡＦ＝ＯＡ＝４槡３， ∵∠ＢＡＤ＝９０°－∠ＡＤＢ＝３０°， ∴∠ＥＡＦ＝１８０°－９０°－３０°＝６０°， ∵ｔａｎ∠ＥＡＦ＝ＥＦＡＦ＝槡３， ∴ＥＦ＝槡３ＡＦ＝１２， ∴ＣＥ＝ＣＦ＋ＥＦ＝４槡３＋１２． ５．（２０２１陕西乾坤卷）如图，△ＡＢＣ内接于半径为５的 ⊙Ｏ，ＡＤ是⊙Ｏ的直径，过点 Ａ作⊙Ｏ的切线，与 ＣＢ 的延长线交于点Ｅ． （１）求证：ＡＥ２＝ＢＥ·ＣＥ； （２）若ＡＥ＝ＡＣ，且ｃｏｓ∠ＥＡＢ＝４５，求ＣＥ的长． 第５题图 （１）证明：如解图，连接ＢＤ， ∵ＡＥ是⊙Ｏ的切线， ∴∠ＥＡＢ＋∠ＢＡＤ＝９０°， ∵ＡＤ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＢ＋∠ＢＡＤ＝９０°， ∴∠ＥＡＢ＝∠ＡＤＢ， ∵∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ， ∴∠ＥＡＢ＝∠ＡＣＢ． ＥＢ ＥＡ， ∴ＡＥ２＝ＥＢ·ＣＥ； （２）解：如解图，过点Ｂ作ＢＦ⊥ＡＥ于点 Ｆ，过点 Ａ作 ＡＧ⊥ＥＣ于点Ｇ． 由（１）知，∠ＥＡＢ＝∠ＡＤＢ， ∵