【课堂新坐标】2013-2014学年高中数学（人教A版，选修4-1）第1讲　相似三角形的判定及有关性质（配套课件+课时训练+教师用书，18份）

证明等积线段或成比例线段 利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式，是解决这类问题的基本方法．解决这类问题一般可分为三步： (1)把等积式化为比例式，从而确定相关的两个三角形相似． (2)确定两个相关的三角形的方法是：把比例式横看或者竖看，将两条线段中的相同字母消去一个，由余下的字母组成三角形. (3)设法找到证明这两个三角形相似的条件． 如图1－1，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边的垂直平分线EM和AB、CA的延长线分别交于 D、E，连接AM. 图1－1 求证：AM2＝DM·EM. 【证明】　∵∠BAC＝90°， M是BC的中点， ∴AM＝CM，∠MAC＝∠C. ∵EM⊥BC，∴∠E＋∠C＝90°. 又∵∠BAM＋∠MAC＝90°， ∴∠E＝∠BAM. ∵∠EMA＝∠AMD， ∴△AMD∽△EMA. ∴. ＝ ∴AM2＝DM·EM. 利用相似三角形证明线段相等 证明两条线段相等，一般情况下，利用等角对等边或全等三角形的性质来解决．但有些证明两条线段相等的几何题利用前面的方法得不出来，或过程比较繁琐，此时可以借助于相似三角形的有关比例线段来解决． 　如图1－2，AD、CF是△ABC的两条高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从P点引BC的平行线与AC交于点Q. 图1－2 求证：PQ＝CF. 【证明】　∵AD、CF是△ABC的两条高线， ∴∠ADB＝∠BFC.又∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBF， ∴. ＝ 又∵PQ∥BC， ∴∠APQ＝∠B，∠AQP＝∠ACB. ∴△APQ∽△ABC. ∴. ＝，即＝ ∴. ＝ 又∵AP＝AD，∴PQ＝CF. 射影定理 射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边之间的比例关系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错． 　如图1－3所示，AD，BE是△ABC的高，DF⊥AB于F，DF交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H.求证：DF2＝FG·FH. 图1－3 【证明】　∵BE⊥AC， ∴∠ABE＋∠BAE＝90°， 同理，∠H＋∠HAF＝90°， ∴∠ABE＝∠H， 又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA， ∴BF∶HF＝FG∶AF， ∴BF·AF＝FG·FH， 在Rt△ADB中，DF2＝BF·AF， ∴DF2＝FG·FH. 函数与方程思想 　在相似三角形中，存在着多种比例相等的关系，利用这种相等关系，可以构建函数模型，利用函数的性质解决问题，也可以将相等关系转化为方程的形式，利用方程的思想解决问题. 　如图1－4所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝240 mm，高AD＝160 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？ 图1－4 【解】　设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，△ABC的高AD与正方形的边PN相交于点E，设正方形的边长为x mm. ∵PN∥BC， ∴△APN∽△ABC，∴， ＝ ∴，解得x＝96(mm)． ＝ ∴加工成的正方形零件的边长为96 mm. 转化思想 在证明一些等积式时，往往将其转化为比例式加以证明．当证明的比例式中的线段在同一条直线上时，常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量．证明比例式成立也常利用中间比来转化证明． 　如图1－5，在锐角△ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，且DE＝2，求点B到直线AC的距离． 图1－5 【解】　∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°. 又∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CEB. ∴. ＝，∴＝ 又∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA. ∴. ＝ ＝ 又∵ED＝2， ，∴AC＝6 ∴点B到AC的距离＝. ＝3 综合检测(一) (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 图1 1．如图1，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列式子： ①.其中正确式子的个数有(　　) ＝；④＝；③＝；②＝ A．4个　　　　　　　B．3个 C．2个 D．1个 【解析】　由平行线分线段成比例定理知，①②④正确．故选B. 【答案】　B 图2 2．如图2，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，则AD∶DB的值为(　　) A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶5 【解析】　由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8得S△ADE∶S△ABC＝1∶9， ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC