14期 第三章 空间向量与立体几何综合(一)-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

书 一、结论多解型 例 １如图所示，在正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，①（ →ＡＢ＋ →ＢＣ）＋ＣＣ→ １；②（ＡＡ→ １ ＋Ａ１Ｄ→ １）＋ Ｄ１Ｃ → １；③（ →ＡＢ ＋ ＢＢ→ １） ＋ Ｂ１Ｃ→ １； ④（ＡＡ→ １＋Ａ１Ｂ→ １）＋Ｂ１Ｃ→ １．上列各式 中运算的结果为向量ＡＣ→ １的共有 （将以上运算 结果为ＡＣ→ １的序号填到横线上）． 分析：根据向量的运算法则逐个将各式化简作出判断． 解：①（→ＡＢ＋→ＢＣ）＋ＣＣ→ １＝→ＡＣ＋ＣＣ→ １＝ＡＣ→ １；②（ＡＡ→ １ ＋Ａ１Ｄ → １）＋Ｄ１Ｃ → １ ＝ＡＤ → １＋Ｄ１Ｃ → １ ＝ＡＣ → １；③（ →ＡＢ＋ＢＢ→ １）＋ Ｂ１Ｃ → １＝ＡＢ → １＋Ｂ１Ｃ → １＝ＡＣ → １；④（ＡＡ → １＋Ａ１Ｂ → １）＋Ｂ１Ｃ → １＝ＡＢ → １ ＋Ｂ１Ｃ → １ ＝ＡＣ → １．所以运算结果是ＡＣ → １的有①②③④． 点评：结论开放型创新问题，结论是不确定或不唯 一的，解题时要注意运用相应的解题策略，如举反例、特 殊值法、排除法、等价转化、数形结合等． 二、知识交汇型 例２已知空间任意一点Ｏ和不共线的三点Ａ，Ｂ，Ｃ， 满足 →ＯＰ＝ｘ→ＯＡ＋ｙ→ＯＢ＋ｚ→ＯＣ（ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ，ｚ∈Ｒ），则 “ｘ＋ｙ＋ｚ＝１＂是“点Ｐ位于平面ＡＢＣ内”的 （　　） （Ａ）充分不必要条件 （Ｂ）必要不充分条件 （Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不充分又不必要条件 分析：根据共面向量定理，结合充要条件的概念作 出判断． 解：若空间任意一点 Ｏ和不共线的三点 Ａ，Ｂ，Ｃ，满 足 →ＯＰ＝ｘ→ＯＡ＋ｙ→ＯＢ＋ｚ→ＯＣ（ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ，ｚ∈Ｒ），且ｘ ＋ｙ＋ｚ＝１，则点Ｐ位于平面ＡＢＣ内，反之，若点Ｐ位于 平面ＡＢＣ内，且→ＯＰ＝ｘ→ＯＡ＋ｙ→ＯＢ＋ｚ→ＯＣ（ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ， ｚ∈Ｒ），则ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．故选（Ｃ）． 点评：本题只要是空间向量与逻辑条件的交汇问 题，解题的关键是熟练掌握充分条件、必要条件、充要条 件的概念． 三、探索型 例３已知Ａ，Ｂ，Ｃ三点不共线，对平面ＡＢＣ外的任一 点 Ｏ，若 →ＯＭ＝２→ＯＡ－→ＯＢ－→ＯＣ，则点Ｍ是否与Ａ，Ｂ，Ｃ一 定共面，并说明理由． 分析：若确定点Ｍ是否与Ａ，Ｂ，Ｃ一定共面，就看是 否存在实数对（ｘ，ｙ），使得→ＡＭ ＝ｘ→ＡＢ＋ｙ→ＡＣ成立． 解：点Ｍ与Ａ，Ｂ，Ｃ不共面，理由如下： 假设点Ｍ与Ａ，Ｂ，Ｃ一定共面， 则存在实数对（ｘ，ｙ），使得→ＡＭ ＝ｘ→ＡＢ＋ｙ→ＡＣ成立． 于是对平面ＡＢＣ外任一点Ｏ，→ＯＭ＝（１－ｘ－ｙ）→ＯＡ ＋ｘ→ＯＢ＋ｙ→ＯＣ，比较原式，由基本定理得 １－ｘ－ｙ＝２， ｘ＝－１， ｙ＝－１ { ， 此方程组无解，这与假设矛盾， 所以不存在ｘ，ｙ使→ＡＭ ＝ｘ→ＡＢ＋ｙ→ＡＣ成立． 所以点Ｍ与Ａ，Ｂ，Ｃ不共面． 点评：本题主要考查了空间向量的共面向量定理， 考查了方程思想的运用，从结论入手降低了思维难度． 书 空间向量是解答立体几何问题的有力工具，是高考 一直考查的重点内容．向量法解决立体几何问题的“三 步曲”可以简记为“化归———运算———翻译”，它实质 上是数形结合思想与等价转化思想的运用，按照“形 ———数———形”的转化链进行两次等价转化．下面以一 道课本例题的变式来体验向量法解决立体几何问题“三 步曲”的应用． 例题　如图１，在四棱锥Ｐ－ ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ是正方形，侧 棱ＰＤ⊥底面ＡＢＣＤ，ＰＤ＝ＤＣ，点 Ｅ是ＰＣ的中点，作ＥＦ⊥ＰＢ交ＰＢ 于点Ｆ． （１）求证：ＰＡ∥平面ＥＤＢ； （２）求证：ＰＢ⊥平面ＥＦＤ； （３）求平面ＣＰＢ与平面ＰＢＤ的夹角的大小． 解：略． 点评：本题考查了运用向量的坐标运算证明空间线 面平行、垂直的位置关系和求解二面角，体现了向量坐 标运算解决立体几何问题的优越性，在解决立体几何问 题时，依据图形的特点，通过建立适当的空间直角坐标 系，把“定性”问题转化为“定量”问题来研究，可以避免 综合法中的一些复杂的几何性质的论证，其优势明显． 若条件稍加改变，可有： 变式 １　 如图 ２，已知四棱锥 Ｐ－ＡＢＣＤ的底面 ＡＢＣＤ是边长为１的正方形，ＰＤ⊥底面ＡＢＣＤ，且ＰＤ＝ ＡＤ． （１）求证：ＢＣ∥平面ＰＡＤ； （２）若Ｅ，Ｆ分别为ＰＢ，ＡＤ的中点，求证：ＥＦ⊥ＢＣ； （３）求平面ＰＡＣ与平面ＰＡＤ夹角的余弦值． 解析：如图 ２，分别以→ＤＡ， →ＤＣ，→ＤＰ为单位正交基底建立空 间直角坐标系，则 Ｂ（１，１，０）， Ｃ（０，１，０）， (Ｅ １２， １２， １ )２ ， (Ｆ １２，０， )０ ． （１）因为→ＣＢ＝（