4.1 数学建模实例-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

泡制一杯最佳口感茶水所需时间 1．观察实际情景，发现和提出问题 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．那么在25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题．为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型． 2．收集数据 我们可以利用秒表、温度计等工具(若用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好)，收集茶水温度随时间变化的数据． 例如，某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据． 表1 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.10 3．分析数据 茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型．为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型． 设茶水温度从85 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃.根据表1，画散点图(图1)． 观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数y＝kax＋25(k∈R,0<a<1，x≥0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律． 4．建立模型 根据实际情况可知，当x＝0时，y＝85，可得k＝60. 为了求出温度的衰减比例a，可从第2 min的温度数据开始，计算每分(y－25)的值与上一分(y－25)的值的比值，列出表2. 表2 x 0 1 2 3 4 5 y－25 60.00 54.19 49.75 46.19 43.19 40.10 比值 0.9032 0.9181 0.9284 0.9351 0.9285 计算各比值的平均值，得 a＝×(0.9032＋0.9181＋0.9284＋0.9351＋0.9285)＝0.9227. 我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型 y＝60×0.9227x＋25(x≥0)．① 5．检验模型 将已知数据代入①式，或画出函数①的图象(图2)，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律． 6．求解问题 将y＝60代入y＝60×0.9227x＋25，得 60×0.9227x＋25＝60. 解得x＝log0.9227. 由信息技术得x≈6.6997. 所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7 min. 上述过程可以概括为 学科网（北京）股份有限公司 $