5期 第一章综合(一)-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

书 数学思想是数学的精髓，可以说无处不在，它深深 地蕴含在数学知识里．因此我们在平时的学习中，要处 处留心，善于挖掘，积累各知识块中隐藏的数学思想，并 强化运用思想的意识，解题时才能独具慧眼，从题中捕 捉到隐含的关键信息．在正确的数学思想指导下，面对 纷纭繁杂的考题，方能出奇制胜，决胜高考，提升能力． 现将直线与方程中蕴含的数学思想总结如下： 一、化归与转化思想 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范 围内可解的问题的一种重要的思想．通过不断的转化， 达到化生为熟、化新为旧、化复杂为简单、化抽象为具体 等目的． １．化生为熟 例１点Ｐ（ｘ，ｙ）在直线上ｘ＋ｙ－４＝０上，则ｘ２＋ｙ２ 的最小值是 ． 分析：由代数式ｘ２＋ｙ２的结构特征可联想到熟悉的 知识———两点间的距离公式，即ｘ２＋ｙ２可看成原点到直 线上的点Ｐ（ｘ，ｙ）的距离的平方，由此可将问题转化为 求原点到直线ｘ＋ｙ－４＝０的距离即可． 解：ｘ２＋ｙ２可看成原点到直线ｘ＋ｙ－４＝０上的点 的距离的平方， ｘ２＋ｙ２的最小值为原点到该直线的距离， 则ｄ＝ ｜－４｜ １２＋１槡 ２ ＝２槡２． ２．化抽象为具体 例２设全集 Ｉ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ，ｙ∈ Ｒ｝，集合 { Ｍ ＝ （ｘ，ｙ） ｙ－３ｘ－２＝ }１ ，Ｎ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｙ≠ ｘ＋１｝，那么 瓓Ｉ（Ｍ∪Ｎ）等于 （　　） （Ａ） （Ｂ）｛（２，３）｝ （Ｃ）（２，３） （Ｄ）｛（ｘ，ｙ）｜ｙ＝ｘ＋１｝ 分析：由题知集合Ｉ中的元素为点（ｘ，ｙ），而集合 Ｍ 表示直线ｙ＝ｘ＋１上除点（２，３）外的点，集合Ｎ表示直 线ｙ＝ｘ＋１外的所有点，因此可将抽象的集合问题转化 为具体的数学图形问题． 解：由题知，集合Ｍ表示直线ｙ＝ｘ＋１上除点（２，３） 外的点， 集合Ｎ表示直线ｙ＝ｘ＋１外的所有点， 则集合瓓Ｉ（Ｍ∪Ｎ）＝｛（２，３）｝． 故选（Ｂ）． ３．化复杂为简单 例３已知直线ｘ＝２及ｘ＝４与函数ｙ＝ｌｏｇ２ｘ图象 的交点分别为Ａ，Ｂ，与函数 ｙ＝ｌｇｘ图象的交点分别为 Ｃ，Ｄ，则直线ＡＢ与ＣＤ （　　） （Ａ）相交，且交点在第一象限 （Ｂ）相交，且交点在第二象限 （Ｃ）相交，且交点在第三象限 （Ｄ）相交，且交点在坐标原点 分析：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点的坐标易求，则要判断直线ＡＢ 与ＣＤ的位置关系只须求两直线的斜率即可．因为ＣＤ的 直线方程中含对数，而作为选择题，求 ＡＢ和 ＣＤ的交点 显得小题大做，因此由选项可采取数形结合和大胆猜 想． 解：根据题意易求得 Ａ（２，１），Ｂ（４，２），Ｃ（２，ｌｇ２）， Ｄ（４，ｌｇ４）， 则ｋＡＢ ＝ １ ２，ｋＣＤ ＝ １ ２ｌｇ２， 即ｋＡＢ≠ｋＣＤ， 所以直线ＡＢ与ＣＤ相交． 又ｋＡＯ ＝ｋＢＯ ＝ １ ２，ｋＣＯ ＝ｋＤＯ ＝ １ ２ｌｇ２， 则Ａ，Ｂ，Ｏ三点共线，Ｃ，Ｄ，Ｏ三点共线． 所以直线ＡＢ与ＣＤ的交点在坐标原点． 故选（Ｄ）． 二、函数与方程思想 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、 转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系 入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 （方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解 方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还通过函 数与方程的互相转化与接轨，达到解决问题的目的． 例４已知在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝４，ＡＣ＝３， Ｐ是ＡＢ上一点，则点Ｐ到ＡＣ，ＢＣ的距离乘积的最大值是 （　　） （Ａ）２　　　　　　　（Ｂ）３ （Ｃ）４　　　　 （Ｄ）５ 分析：由∠ＡＣＢ＝９０°，且Ｐ是ＡＢ上一动点，可想到 建立直角坐标系，将其转化为函数求最值问题． 解：建立如图１所示的直角坐标系， 则ＡＢ所在的直线方程为 ｘ４＋ ｙ ３ ＝１（０＜ｘ＜４， ０＜ｙ＜３）． 所以ｘ＝４－４ｙ３，０＜ｙ＜３． 设线段ＡＢ上任意一点Ｐ（ｘ，ｙ）， 则点Ｐ到ＡＣ，ＢＣ的距离乘积为 ｘｙ＝４ｙ－４３ｙ ２ ＝－４ (３ ｙ－３ )２ ２ ＋３． 则当ｙ＝ ３２时，乘积ｘｙ的最大值为３． 故选（Ｂ）． 三、分类讨论思想 分类讨论思想具有逻辑性、综合性、探索性的特点， 更能考查学生的数学能力．在进行分类讨论时，首当其 冲的问题是瞄准分类讨论的切入点，选准分类对象，优 化分类顺序，明确分类标准，方能做到不重不漏，条分缕 析． １．直线方程的形式中蕴含的分类讨论 例５过点（５，１０），且到原点的距离为５的直线方程 为 ． 分析：由题知可设方程的点斜式，然后由点到直线 的距离公式求斜率ｋ．但此时要注意思维严密，讨论当斜 率不存在时，是否满足题意． 解：（１）当直线的斜率不存在时， 所求直线的方程为ｘ－５＝０，满足题意； （２）当直线的斜率存在时，设为ｋ， 则直线的方程为ｙ－１０＝ｋ（ｘ－５）， 即ｋｘ－ｙ＋（１０－５ｋ）＝０． 又