第14期 基本(均值)不等式-【数理报】新高考2023高考数学一轮复习学案

书 第１３期检测题参考答案 一、单项选择题 １～４　ＢＣＤＡ　５～８　ＤＤＣＡ 二、多项选择题 ９．ＢＣＤ；　１０．ＡＤ；　１１．ＢＣ；　１２．ＡＢＤ． 三、填空题 １３．６；　１４ (． －１２， ]０ [∪ １２， )１ ； １５．［－６，＋∞）；　１６．［－１，３］． 四、解答题 １７．解：（１）由题可得ａ＞０，且 １＋ｂ＝ ３ａ， １×ｂ＝ ２ａ { ， 解得ａ＝１，ｂ＝２． （２）由（１）得ｘ２－（ｃ＋２）ｘ＋２ｃ＞０，即（ｘ－２）（ｘ－ｃ）＞０． 当ｃ＜２时，不等式的解集为｛ｘ｝ｘ＜ｃ或ｘ＞２｝； 当ｃ＝２时，不等式的解集为｛ｘ｜ｘ≠２｝； 当ｃ＞２时，不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜２或ｘ＞ｃ｝． １８．解：（１）当ｋ＝１时，２ｘ２＋ｘ－３８ ＜０，解得－ ３ ４ ＜ｘ＜ １ ４， {所以原不等式的解集为 ｘ －３４ ＜ｘ＜ }１４ ． （２）当ｋ＝０时，－３８ ＜０恒成立，满足题意； 当ｋ≠０时，要使得不等式２ｋｘ２＋ｋｘ－３８ ＜０对一切实数 ｘ恒成立， 则需满足 ｋ＜０， Δ＜０{ ，即 ｋ＜０， ｋ２－４×２ (ｋ× － )３８ ＜０{ ， 解得 －３＜ｋ＜０． 综上所述，实数ｋ的取值范围是（－３，０］． １９．（１）解：当ｘ≤－１时，原不等式等价于 －（ｘ＋１）＋２ｘ－ ４≥２ｘ－３，解得ｘ≤－２； 当 －１＜ｘ＜２时，原不等式等价于ｘ＋１＋２ｘ－４≥２ｘ－ ３，解得０≤ｘ＜２； 当 ｘ≥２时，原不等式等价于ｘ＋１－（２ｘ－４）≥２ｘ－３，解 得２≤ｘ≤ ８３． 综上所述，原不等式的解集是（－∞，－２］ [∪ ０， ]８３ ． （２）证明：因为ｆ（ｘ）＝ ｘ－５，ｘ≤－１， ３ｘ－３，－１＜ｘ＜２， －ｘ＋５，ｘ≥２ { ， 所以ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｆ（２）＝３，即ａ２＋ｂ２＋ｃ２ ＝３． 又ａ２＋ｂ２≥２ａｂ，ｂ２＋ｃ２≥２ｂｃ，ｃ２＋ａ２≥２ａｃ， 所以２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）≥２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ），即ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ≤３， 当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ＝±１时，等号成立． ２０．解：（１）因为函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａ（ｘ２－ｘ＋ａ）的定义域为Ｒ， 所以ｘ∈Ｒ，ｘ２－ｘ＋ａ＞０恒成立， 则Δ＝１－４ａ＜０，解得ａ＞ １４，又ａ＞０且ａ≠１， 所以ａ (的取值范围是 １４， )１ ∪（１，＋∞）． （２）由（１）知，１４ ＜ａ＜１或ａ＞１， 不等式ｆ（ｘ）＞１＋ｌｏｇａｘｌｏｇａ（ｘ２－ｘ＋ａ）＞ｌｏｇａａｘ， 当 １ ４ ＜ａ＜１时，函数ｙ＝ｌｏｇａｘ在（０，＋∞）上单调递减， 所以０＜ｘ２－ｘ＋ａ＜ａｘ，即（ｘ－１）（ｘ－ａ）＜０，解得ａ＜ｘ＜１， 当ａ＞１时，函数ｙ＝ｌｏｇａｘ在（０，＋∞）上单调递增，所以 ０＜ａｘ＜ｘ２－ｘ＋ａ，即（ｘ－１）（ｘ－ａ）＞０，且ｘ＞０，解得０＜ ｘ＜１或ｘ＞ａ， 综上所述，当 １ ４ ＜ａ＜１时，原不等式的解集为（ａ，１）， 当ａ＞１时，原不等式的解集为（０，１）∪（ａ，＋∞）． ２１．（１）解：当ｂ＝１时， 由ｆ（ｘ）＞（ａ＋３）ｘ２－（３ａ＋４）ｘ＋ａ＋２， 得ａｘ２－（ａ＋２）ｘ＋２＜０，即（ａｘ－２）（ｘ－１）＜０， 当ａ＝０时，有 －２ｘ＋２＜０，解得ｘ＞１； 当ａ＜０时，２ａ ＜０＜１，解得ｘ＞１或ｘ＜ ２ ａ； 当０＜ａ＜２时，２ａ ＞１，解得１＜ｘ＜ ２ ａ． 综上，当０＜ａ＜２时， (原不等式的解集为 １，２ )ａ ， 当ａ＝０时，原不等式的解集为（１，＋∞）， 当ａ＜０时， (原不等式的解集为 －∞，２ )ａ ∪（１，＋∞）． （２）证明：当ｂ＞ａ＞０时，由ｓ，ｔ为ｆ（ｘ）＝０的两根可得 ｓ＋ｔ＝ ２３（ａ＋ｂ），ｓｔ＝ ａｂ ３ ＞０． 假设→ＯＡ⊥→  ＯＢ，即→ＯＡ·→  ＯＢ＝（ｓ，ｓ·ｇ（ｓ））·（ｔ，ｔ·ｇ（ｔ））＝ ｓｔ＋ｓｔ·ｇ（ｓ）·ｇ（ｔ）＝０，故ｇ（ｓ）·ｇ（ｔ）＝－１， 即（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｔ－ａ）（ｔ－ｂ）＝－１， 所以［ｓｔ－（ｓ＋ｔ）ａ＋ａ２］·［ｓｔ－（ｓ＋ｔ）ｂ＋ｂ２］＝－１， 从而有ａｂ（ａ－ｂ）２ ＝９，即（ａ－ｂ）２ ＝ ９ａｂ． 故（ａ＋ｂ）２ ＝（ａ－ｂ）２＋４ａｂ＝ ９ａｂ＋４ａｂ≥ 槡２ ３６＝１２， 即ａ＋ｂ≥ 槡２３，这与ａ＋ｂ＜ 槡２３矛盾． 故→ＯＡ与→  ＯＢ不可能垂直． ２２．解：（１）当ａ＝１，ｂ＝２时，ｆ（ｘ）＝（ｘ＋１）２＋ｃ－１． 由题意可知，ｆ（ｘ）＝２在［－２，０］上有两个不等实根，或 ｆ（ｘ）＝－２在［－２，０］上有两个不等实根， 则 ｆ（－１）＜２， ｆ（０）≥{ ２ 或 ｆ（－１）＜－２， ｆ（０）≥－２{ ， 解得２≤ｃ＜３或 －２≤ｃ＜－１， 故实数ｃ的取值范围是［－２，－１）∪［２，３）． （２）设ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 则由题意得 ｆ（－１）＞０， ｆ（