第13期 不等关系、一元二次不等式及其解法-【数理报】新高考2023高考数学一轮复习学案

书 第１２期检测题参考答案 一、单项选择题　１～４　ＣＢＡＣ　５～８　ＤＣＢＢ 二、多项选择题　９．ＡＢＣ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＡＢＤ；　１２．ＡＣＤ． 三、填空题 １３．６６；　１４．－１９０；　１５．２－２ ｎ－１；　１６．３ ｎ＋２ ４ ＋ ３ｎ ２ － ９ ４． 四、解答题 １７．解：（１）设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则 ａ５ ＝ａ１＋４ｄ＝９， Ｓ７ ＝７ａ１＋ ７×６ｄ ２ ＝４９ { ，解得ａ１ ＝１，ｄ＝２， 所以ａｎ ＝１＋２（ｎ－１）＝２ｎ－１． （２）数列｛ｂｎ｝的前１００项和为 （ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂ１０）＋（ｂ１１＋ｂ１２＋… ＋ｂ２０）＋（ｂ２１＋ｂ２２ ＋… ＋ｂ３０）＋… ＋（ｂ９１＋ｂ９２＋… ＋ｂ１００） ＝（ａ１＋ａ２＋… ＋ａ１０）＋２（ａ１＋ａ２＋… ＋ａ１０）＋２２（ａ１＋ ａ２＋… ＋ａ１０）＋… ＋２９（ａ１＋ａ２＋… ＋ａ１０） ＝（１＋２＋２２＋… ＋２９）（ａ１＋ａ２＋… ＋ａ１０） ＝１－２ １０ １－２ × １０×（１＋１９） ２ ＝１０２３００． １８．解：（１）选条件①：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则由ａ２２ －ａ３ ＝４得（ａ１＋ｄ）２－（ａ１＋２ｄ）＝４，将ａ１＝１代入，解得ｄ ＝２或ｄ＝－２，因为Ｓｎ ＞０，所以ｄ＝２，所以ａｎ ＝２ｎ－１； 选条件②：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则 Ｓｎ ｎ ＝ａ１＋ １ ２（ｎ －１）ｄ， {由数列 Ｓｎ}ｎ 的前３项和为６及ａ１ ＝１得３＋３２ｄ＝ ６，解得ｄ＝２，所以ａｎ ＝２ｎ－１； 选条件③：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则由ａ１，ａ２，ａ４＋２ 成等比数列得（ａ１＋ｄ）２＝ａ１（ａ１＋３ｄ＋２），将ａ１＝１代入得ｄ２ －ｄ－２＝０，解得ｄ＝２或ｄ＝－１，因为ａｎ＞０，所以ｄ＝２，所 以ａｎ ＝２ｎ－１． （２）由（１）得ｂｎ ＝ ａｎ＋１ ｎ２（ａｎ＋３）２ ＝ ２ｎ＋１ ４ｎ２（ｎ＋１）２ ＝ [１４ １ｎ２ － １（ｎ＋１） ]２ ， 所以Ｔｎ ＝ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂｎ ＝ [１４ １－１２２ ＋１２２ －１３２ ＋ … ＋１ ｎ２ － １ （ｎ＋１） ]２ ＝ [１４ １－ １（ｎ＋１） ]２ ＝ ｎ ２＋２ｎ ４（ｎ＋１）２ ． １９．解：（１）因为２Ｓｎ ＝ａ２ｎ＋ａｎ， 所以当ｎ≥２时，２Ｓｎ－１ ＝ａ２ｎ－１＋ａｎ－１， 则２（Ｓｎ－Ｓｎ－１）＝（ａ２ｎ－ａ２ｎ－１）＋（ａｎ－ａｎ－１）． 即２ａｎ ＝（ａ２ｎ－ａ２ｎ－１）＋（ａｎ－ａｎ－１）， 所以（ａｎ＋ａｎ－１）（ａｎ－ａｎ－１－１）＝０． 因为ａｎ ＞０，所以ａｎ－ａｎ－１－１＝０，即ａｎ－ａｎ－１ ＝１， 所以数列｛ａｎ｝是公差为１的等差数列． 由２Ｓ１ ＝ａ２１＋ａ１得２ａ１ ＝ａ２１＋ａ１， 因为ａ１ ＞０，所以ａ１ ＝１．所以ａｎ ＝ｎ． （２）由（１）知ｂｎ ＝ｎ·２ｎ， 所以Ｔｎ ＝２＋２×２２＋３×２３＋… ＋ｎ·２ｎ， ① ２Ｔｎ ＝２２＋２×２３＋… ＋（ｎ－１）·２ｎ＋ｎ·２ｎ＋１， ② ① －②得，－Ｔｎ ＝２＋２２＋２３＋… ＋２ｎ －ｎ·２ｎ＋１ ＝ ２（１－２ｎ） １－２ －ｎ·２ ｎ＋１ ＝（１－ｎ）２ｎ＋１－２， 所以Ｔｎ ＝（ｎ－１）２ｎ＋１＋２． ２０．（１）解：当ｎ≥２时，Ｓｎ ＝２Ｓｎ－１＋２， 则Ｓｎ＋１－Ｓｎ ＝２Ｓｎ＋２－２Ｓｎ－１－２，即ａｎ＋１ ＝２ａｎ， 当ｎ＝１时，Ｓ２＝２Ｓ１＋２，且ａ１＝２，则ａ２＝４，所以ａ２＝２ａ１， 所以｛ａｎ｝是以２为首项，２为公比的等比数列，即ａｎ＝２ｎ． （２）证明：由（１）可知ａｎ ＝２ｎ，ａｎ＋１ ＝２ｎ＋１， 则ａｎ＋１ ＝ａｎ＋（ｎ＋２－１）ｄｎ， 所以ｄｎ ＝ ２ｎ＋１－２ｎ ｎ＋１ ＝ ２ｎ ｎ＋１，所以 １ ｄｎ ＝ｎ＋１ ２ｎ ， 令Ｔｎ ＝ １ ｄ１ ＋１ｄ２ ＋１ｄ３ ＋… ＋１ｄｎ ， 则Ｔｎ ＝ ２ ２１ ＋３ ２２ ＋４ ２３ ＋… ｎ ２ｎ－１ ＋ｎ＋１ ２ｎ ， １ ２Ｔｎ ＝ ２ ２２ ＋３ ２３ ＋４ ２４ ＋… ｎ ２ｎ ＋ｎ＋１ ２ｎ＋１ ， 两式相减得 １ ２Ｔｎ ＝ ２ ２１ ＋１ ２２ ＋１ ２３ ＋… ＋１ ２ｎ －ｎ＋１ ２ｎ＋１ ＝１＋ (１４ １－ １２ｎ－ )１ １－１２ －ｎ＋１ ２ｎ＋１ ＝ ３２ － ｎ＋３ ２ｎ＋１ ， 所以Ｔｎ ＝３－ ｎ＋３ ２ｎ ＜３，即 １ｄ１ ＋１ｄ２ ＋１ｄ３ ＋… ＋１ｄｎ ＜３． ２１．证明：（１）当ｎ≥２时，由Ｓｎ＋１＋２Ｓｎ－１＝３Ｓｎ－２可变形 为Ｓｎ＋１－Ｓｎ ＝２（Ｓｎ－Ｓｎ－１）－２， 即ａｎ＋１＝２ａｎ－２，即ａｎ＋１－２＝２（ａｎ－２），所以 ａｎ＋１－２ ａｎ－２ ＝２， 又因为ａ１ ＝３，ａ２ ＝４，可得ａ１－２＝１，ａ２－２＝２，