第12期 数列综合问题(数列求和,递推数列等)-【数理报】新高考2023高考数学一轮复习学案

书 第１１期检测题参考答案 一、单项选择题 １～４　ＢＡＣＣ　５～８　ＤＢＡＣ 二、多项选择题　 ９．ＡＢ；　１０．ＡＣ；　１１．ＡＤ；　１２．ＡＢＤ． 三、填空题 １３．７；　１４．９或５６；　１５． [４３ １ (－ － )１２ ] ｎ －ｎ；　１６．ｅ． 四、解答题 １７．解：（１）由Ｔｎ＋１ ＝ （ｎ＋２）ａｎＴｎ ｎ 得 Ｔｎ＋１ Ｔｎ ＝ａｎ＋１ ＝ （ｎ＋２）ａｎ ｎ ，即 ａｎ＋１ ａｎ ＝ｎ＋２ｎ ， 所以ａｎ ＝ ａｎ ａｎ－１ · ａｎ－１ ａｎ－２ · ａｎ－２ ａｎ－３ ·…· ａ４ ａ３ · ａ３ ａ２ · ａ２ ａ１ ·ａ１ ＝ｎ＋１ｎ－１· ｎ ｎ－２· ｎ－１ ｎ－３·…· ５ ３· ４ ２· ３ １·２＝（ｎ＋１）ｎ， 当ｎ＝１时，ａ１ ＝２也满足上式，所以ａｎ ＝ｎ２＋ｎ． （２）由（１）得ｂｎ ＝ １ ｎ（ｎ＋１）＝ １ ｎ － １ ｎ＋１， 则Ｓｎ ＝ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂｎ ＝１－１２ ＋ １ ２ － １ ３ ＋… ＋ １ ｎ － １ ｎ＋１ ＝１－ １ｎ＋１＝ ｎ ｎ＋１． １８．（１）证明：因为ａｎａｎ＋１ ＝λＳｎ－１， 所以ａｎ＋１ａｎ＋２ ＝λＳｎ＋１－１， 两式相减得ａｎ＋１（ａｎ＋２－ａｎ）＝λａｎ＋１． 又ａｎ＋１≠０，所以ａｎ＋２－ａｎ ＝λ． （２）解：当ｎ＝１时，ａ１ａ２＝λＳ１－１，解得ａ２＝λ－１， 由（１）知，ａ３－ａ１ ＝λ，解得ａ３ ＝λ＋１． 因为｛ａｎ｝为等差数列，所以２ａ２ ＝ａ１＋ａ３， 即２（λ－１）＝１＋λ＋１，解得λ＝４． 公差ｄ＝ａ２－ａ１ ＝２，所以ａｎ ＝１＋２（ｎ－１）＝２ｎ－１， 此时ａｎ＋１ ＝２ｎ＋１，Ｓｎ ＝ ｎ（１＋２ｎ－１） ２ ＝ｎ ２， ａｎａｎ＋１ ＝（２ｎ－１）（２ｎ＋１）＝４ｎ２－１＝λＳｎ－１，符合题 意． 所以Ｓ１０ ＝１０２ ＝１００． １９．解：在③Ｓｎ ＝２ｎ＋１中令ｎ＝１得ａ１＝３，与①②不可 能同时成立，故只能从①②③中任选一个，且选择④． 由④ａｎ＋１ ＝Ｓｎ＋１，得ａｎ ＝Ｓｎ－１＋１（ｎ≥２）， 两式相减得ａｎ＋１－ａｎ ＝ａｎ，即ａｎ＋１ ＝２ａｎ， 即数列｛ａｎ｝从第２项起是公比为２的等比数列． 若选择①ａ１＝１，则在ａｎ＋１＝Ｓｎ＋１中令ｎ＝１，得ａ２＝ａ１ ＋１＝２，此时ａ２ ＝２ａ１，所以｛ａｎ｝是等比数列，满足题意； 若选择②ａ１＝２，则在ａｎ＋１＝Ｓｎ＋１中令ｎ＝１，得ａ２＝ａ１ ＋１＝３，此时ａ２＝ ３ ２ａ１，所以｛ａｎ｝不是等比数列，不满足题意； 若选择③Ｓｎ＝２ｎ＋１，则在ａｎ＋１＝Ｓｎ＋１中令ｎ＝１，得ａ２ ＝ａ１＋１＝４，此时ａ２＝ ４ ３ａ１，所以｛ａｎ｝不是等比数列，不满足 题意． 综上所述，只能选择①④，此时｛ａｎ｝是首项为１，公比为２ 的等比数列，即ａｎ ＝２ｎ－１． ２０．解：（１）令ｎ＝２，得ａ２＋２ａ１ ＝（－２）２－３， 即ａ２－１０＝１，所以ａ２ ＝１１； 令ｎ＝３，得ａ３＋２ａ２ ＝（－２）３－３， 即ａ３＋２２＝－１１，所以ａ３ ＝－３３． （２）假设存在实数λ，使得｛ｂｎ｝是等差数列， 因为ｂｎ ＝ ａｎ＋λ （－２）ｎ ， 所以ｂ１ ＝ －５＋λ －２ ，ｂ２ ＝ １１＋λ ４ ，ｂ３ ＝ －３３＋λ －８ ， 若｛ｂｎ｝是等差数列，则２ｂ２ ＝ｂ１＋ｂ３， 即 １１＋λ ２ ＝ －５＋λ －２ ＋ －３３＋λ －８ ，解得λ＝１， 此时ｂｎ ＝ ａｎ＋１ （－２）ｎ ． 则当ｎ≥２时，ｂｎ－ｂｎ－１＝ ａｎ＋１ （－２）ｎ － ａｎ－１＋１ （－２）ｎ－１ ＝ ａｎ＋１ （－２）ｎ ＋ ２ａｎ－１＋２ （－２）ｎ ＝ ａｎ＋２ａｎ－１＋３ （－２）ｎ ＝（－２） ｎ （－２）ｎ ＝１， 所以存在λ＝１，使得｛ｂｎ｝是等差数列． ２１．解：（１）设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ（ｑ＞０）， 由２ａｎａｎ＋１ ＝４ｎ（ｎ∈Ｎ＋）得 ２ａ１ａ２ ＝４， ２ａ２ａ３ ＝４２ { ， ① ② ② ÷①得ｑ２ ＝４，解得ｑ＝２，ａ１ ＝１， 所以数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝２ｎ－１． （２）由（１）得Ｓｎ ＝ １－２ｎ １－２ ＝２ ｎ－１， 则ａｎ－（Ｓｎ－７）＝２ｎ－１－（２ｎ－１－７）＝２３－２ｎ－１， 当１≤ｎ≤４时，ａｎ≥Ｓｎ－７；当ｎ≥５时，ａｎ ＜Ｓｎ－７， 所以ｂｎ ＝ ａｎ，１≤ｎ≤４， Ｓｎ－７，ｎ≥５ { ． 当ｎ≥５时，Ｔｎ＝ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋ｂ４＋ｂ５＋ｂ６＋… ＋ｂｎ ＝（ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４）＋（Ｓ５－７）＋（Ｓ６－７）＋… ＋（Ｓｎ －７） ＝２４－１＋（２５－８）＋（２６－８）＋… ＋（２ｎ－８） ＝１５＋（２５＋２６＋… ＋２ｎ）－８（ｎ－４） ＝４７－８ｎ＋２ ５（１－２ｎ－４） １－２ ＝２ ｎ＋１－８ｎ＋