第11期 数列的概念与简单表示、等差及等比数列-【数理报】新高考2023高考数学一轮复习学案

书 一、单项选择题 １～４　ＤＢＢＤ　５～８　ＤＡＣＡ 二、多项选择题 ９．ＢＣＤ；　１０．ＢＤ；　１１．ＡＣＤ；　１２．ＡＣ． 三、填空题 １３．－２；　１４．４；　１５．槡３；　１６．（槡７，３］． 四、解答题 １７．解：（１）由题得｜ａ｜＝ ２２＋（－２）槡 ２ ＝ 槡２２， ｜ｂ｜＝ ２２＋１槡 ２ ＝槡５， ｃｏｓθ＝ ａ·ｂ｜ａ｜·｜ｂ｜＝ ４－２ 槡２２·槡５ ＝槡１０１０． （２）若ａ＋λｂ与２ａ－ｂ的夹角为锐角， 则（ａ＋λｂ）·（２ａ－ｂ）＞０，且ａ＋λｂ与２ａ－ｂ不共线． 又ａ＋λｂ＝（２λ＋２，λ－２），２ａ－ｂ＝（２，－５）， 所以 ２（２λ＋２）－５（λ－２）＞０， ２（λ－２）＋５（２λ＋２）≠０{ ， 解得λ＜１４且λ≠－１２， 故实数λ (的取值范围是 －∞，－ )１２ (∪ －１２， )１４ ． １８．解：（１）由ｃｏｓ２Ｂ＝３ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）＋１得 ２ｃｏｓ２Ｂ＋３ｃｏｓＢ－２＝０， 解得ｃｏｓＢ＝ １２或ｃｏｓＢ＝－２（舍）， 因为Ｂ∈（０，π），所以Ｂ＝ π３． （２）Ｓ＝ １２ａｃｓｉｎＢ＝ １ ２ ×１０ｃｓｉｎ π ３ ＝ 槡５３，解得ｃ＝２． 由余弦定理得ｂ２ ＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＢ＝８４， 解得ｂ＝ 槡２ ２１， 由正弦定理得ｓｉｎＡｓｉｎＣ＝ａｓｉｎＢｂ × ｃｓｉｎＢ ｂ ＝ ５ ２８． １９．解：（１）ｆ（ｘ）＝ (ｓｉｎ ２ｘ＋π )３ ＋ (ｃｏｓ ２ｘ＋π )６ ＋ ２ｓｉｎｘｃｏｓｘ ＝ １２ｓｉｎ２ｘ＋ 槡３ ２ｃｏｓ２ｘ＋ 槡３ ２ｃｏｓ２ｘ－ １ ２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ ＝ｓｉｎ２ｘ＋槡３ｃｏｓ２ｘ＝ (２ｓｉｎ ２ｘ＋π )３ ， 所以函数ｆ（ｘ）的最小正周期Ｔ＝２π２ ＝π， 令２ｘ＋π３ ＝ｋπ＋ π ２得对称轴方程为ｘ＝ π １２＋ ｋπ ２，ｋ∈Ｚ． （２）根据题意ｇ（ｘ）＝ (２ｓｉｎ １２ｘ＋π )６ ， 由ｘ [∈ π３，２ ]π 得 １２ｘ＋π６ [∈ π３，７π]６ ， 所以 (２ｓｉｎ １２ｘ＋π )６ ∈［－１，２］， 即ｙ＝ｇ（ｘ） [在 π６，２ ]π 上的值域是［－１，２］． ２０．解：（１）根据题意得ｃｓｉｎＡ＝ａ (ｃｏｓ Ｃ－π )６ ， 即ｓｉｎＣｓｉｎＡ＝ｓｉｎＡ (ｃｏｓ Ｃ－π )６ ， 因为ｓｉｎＡ≠０， 所以ｓｉｎＣ＝ (ｃｏｓ Ｃ－π )６ ＝槡３２ｃｏｓＣ＋１２ｓｉｎＣ， 即ｓｉｎＣ＝槡３ｃｏｓＣ，所以ｔａｎＣ＝槡３， 又０＜Ｃ＜π，所以Ｃ＝ π３． （２）ｃｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＣ＝ｃ·ａ ２＋ｃ２－ｂ２ ２ａｃ ＋ｂ· ａ２＋ｂ２－ｃ２ ２ａｂ ＝１， 解得ａ＝１， 又Ｃ＝ π３，Ａ＝ π ４，得Ｂ＝ ５π １２， 由正弦定理得 ａ ｓｉｎπ４ ＝ ｃ ｓｉｎπ３ ，解得ｃ＝槡６２． 且ｓｉｎ５π１２＝ (ｓｉｎ π４ ＋π )６ ＝槡６＋槡２４ ， 所以Ｓ＝ １２ａｃｓｉｎＢ＝ １ ２ ×１× 槡６ ２ × 槡６＋槡２ ４ ＝ ３＋槡３ ８ ． ２１．解：（１）因为ｆ（ｘ）满足 (ｆ π３ )－ｘ ＝ｆ（ｘ）， 所以ｘ＝ π６是ｆ（ｘ）的一条对称轴， 又 (ｆ －π )１２ ＝０，且ｆ（ｘ） (在 －π１２，π )６ 上单调递增， 所以 Ｔ ４ ＝ π ６ ＋ π １２＝ π ４，解得Ｔ＝π，所以ω＝２． 由 (ｆ －π )１２ ＝０得２ (× －π )１２ ＋φ＝２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 即φ＝ π６ ＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 又φ∈（０，π），所以φ＝ π６，即ｆ（ｘ）＝ (ｓｉｎ ２ｘ＋π )６ ． （２）由（１）知 (ｆ α )４ ＝ １４ ＝ (ｓｉｎ α２ ＋π )６ ， 所以 (ｓｉｎ π６ － )α ＝ [ｓｉｎ π２ － (２ α２ ＋π ) ]６ ＝ [ (ｃｏｓ ２ α２ ＋π ) ]６ ＝１－２ｓｉｎ (２ α２ ＋π )６ ＝１－ (２ )１４ ２ ＝ ７８． ２２．解：（１）依题意，ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ２ｘ＋槡２３ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋１ ＝槡３ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ＋２＝ (２ｓｉｎ ２ｘ－π )６ ＋２． 令２ｋπ－π２≤２ｘ－ π ６≤２ｋπ＋ π ２，ｋ∈Ｚ， 解得ｆ（ｘ） [的单调递增区间是 ｋπ－π６，ｋπ＋π ]３ ，ｋ∈Ｚ， 令２ｋπ＋π２≤２ｘ－ π ６≤２ｋπ＋ ３π ２，ｋ∈Ｚ． 解得ｆ（ｘ） [的单调递减区间是 ｋπ＋π３，ｋπ＋５π]６ ，ｋ∈Ｚ． （２）由ｆ（Ａ）＝４得Ａ＝ π３． 设△ＡＢＣ外接圆的半径为Ｒ， 根据正弦定理得２Ｒ＝ ａｓｉｎＡ＝ 槡４３ ３． 于是ｂ＋ｃ＝２Ｒ（ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ） ＝ 槡４３[３ ｓｉｎＢ＋ (ｓｉｎ ２π３ ) ]－Ｂ ＝ 槡４３(３ ３２ｓｉｎＢ＋槡３２ｃｏｓ )Ｂ ＝ (４ｓｉｎ Ｂ＋π )６ ． 因为△ＡＢＣ是锐角