第10期 三角函数、解三角形、平面向量综合复习-【数理报】新高考2023高考数学一轮复习学案

书 在有关三角函数的一些题目中，角的变换常常使函 数名称、次数及运算符号等也相应发生变化，进行必要 的变换代换，常常是解决问题的关键，对于正确解题和 提高解题能力都会有很大的帮助．本文就三角函数中常 用的变角代换剖析如下，以供同学们参考． 一、单角化复角 单角化复角是指把某一个角转化成两个角的和或 差的形式．常见的变换方式有： （１）α＝（α－β）＋β；　　（２）β＝（α＋β）－α； （３）α＝α＋β２ ＋ α－β ２ ； （４）β＝ α＋β ２ － α－β ２ ． 例１已知ｓｉｎα＝４ｓｉｎ（α＋β），求证：ｔａｎ（α＋β）＝ ｓｉｎβ ｃｏｓβ－４ ． 证明：由ｓｉｎ［（α＋β）－β］＝４ｓｉｎ（α＋β）得ｓｉｎ（α ＋β）ｃｏｓβ－ｃｏｓ（α＋β）ｓｉｎβ＝４ｓｉｎ（α＋β）， 即ｓｉｎ（α＋β）（ｃｏｓβ－４）＝ｃｏｓ（α＋β）ｓｉｎβ， 所以ｔａｎ（α＋β）＝ ｓｉｎβｃｏｓβ－４ ． 二、倍角化复角 常见的倍角化复角的方式有： （１）２α＝（α＋β）＋（α－β）； （２）２β＝（α＋β）－（α－β）． 例２已知 α＋β∈ π ２，( )π，α－β∈ ０，π( )２ ，且 ｓｉｎ（α－β）＝４槡３７，ｃｏｓ（α＋β）＝－ １１ １４，求β． 解析：由题意可得ｃｏｓ（α－β）＝ １７，ｓｉｎ（α＋β）＝ ５槡３ １４， 所以ｃｏｓ２β＝ｃｏｓ［（α＋β）－（α－β）］ ＝ｃｏｓ（α＋β）ｃｏｓ（α－β）＋ｓｉｎ（α＋β）ｓｉｎ（α－β） ＝－１１１４× １ ７＋ ５槡３ １４ × ４槡３ ７ ＝ １ ２． 又 π ２ ＜α＋β＜π，０＜α－β＜ π ２， 所以０＜（α＋β）－（α－β）＝２β＜π， 所以２β＝π３，即β＝ π ６． 三、复角化复角 复角化复角的常见方式有： （１）２α＋β＝（α＋β）＋α； （２）２α－β＝α＋（α－β）； （３）α＋β２ ＝ α－ β( )２ － α２－( )β； （４）α－β２ ＝ α＋ β( )２ － α２＋( )β； （５） π ４＋( )α＋ π４＋( )β＝π２＋（α＋β）； （６） π ４＋( )α＋ π４－( )β＝π２＋（α－β）等． 例３已知 ｃｏｓα＋π( )４ ＝ ３ ５ π ２≤α＜ ３π( )２ ，求 ｃｏｓ２α＋π( )４ 的值． 解析：因为 π ２≤α＜ ３π ２，所以 ３π ４≤α＋ π ４ ＜ ７π ４． 因为ｃｏｓα＋π( )４ ＝ ３ ５ ＞０， 所以 ３π ２ ＜α＋ π ４ ＜ ７π ４． 所以ｓｉｎα＋π( )４ ＝－ １－ｃｏｓ２ α＋π( )槡 ４ ＝－ ４ ５， 所以ｃｏｓ２α＝ｓｉｎ２α＋π( )２ ＝２ｓｉｎα＋π( )４ ｃｏｓα＋π( )４ ＝－ ２４ ２５， ｓｉｎ２α＝－ｃｏｓ２α＋π( )２ ＝１－２ｃｏｓ２ α＋π( )４ ＝ ７ ２５， 所以ｃｏｓ２α＋π( )４ ＝ｃｏｓ２αｃｏｓπ４－ｓｉｎ２αｓｉｎπ４ ＝－２４２５× 槡２ ２－ ７ ２５× 槡２ ２ ＝－ ３１槡２ ５０ ． 书 在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量 表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总 会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识 点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力．现就 “四心”作如下介绍： 一、重心及其性质 三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距 离与该点到对边中点距离之比为２∶１．在向量表达形式 中，设点 Ｇ是 △ＡＢＣ所在平面内的一点，则当点 Ｇ是 △ＡＢＣ的重心时，有→ＧＡ＋→ＧＢ＋→ＧＣ＝０或→ＰＧ＝１３（ →ＰＡ＋ →ＰＢ＋→ＰＣ）（其中Ｐ为平面内任意一点）．反之，若→ＧＡ＋→ＧＢ ＋→ＧＣ＝０，则点Ｇ是△ＡＢＣ的重心． 例１　Ｏ是平面上一定点，Ａ，Ｂ，Ｃ是平面上不共线 的三个点，动点Ｐ满足→ＯＰ＝→ＯＡ＋λ（→ＡＢ＋→ＡＣ），λ∈［０， ＋∞），则点Ｐ的轨迹一定通过△ＡＢＣ的 （　　） （Ａ）外心　 （Ｂ）内心　 （Ｃ）重心　 （Ｄ）垂心 解析：如图１所示，在△ＡＢＣ中， Ｄ，Ｅ分别为边ＢＣ，ＡＣ的中点． 因为 →ＡＢ＋→ＡＣ＝２→ＡＤ， 所以 →ＯＰ＝→ＯＡ＋２λ→ＡＤ． 因为 →ＯＰ＝→ＯＡ＋→ＡＰ， 所以 →ＡＰ＝２λ→ＡＤ，所以→ＡＰ∥ →ＡＤ， 所以点Ｐ的轨迹一定通过△ＡＢＣ的重心，故选（Ｃ）． 二、垂心及其性质 三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂 直于对边．在向量表达形式中，若Ｈ是△ＡＢＣ的垂心，则 →ＨＡ·→ＨＢ＝→ＨＢ·→ＨＣ＝→ＨＣ·→ＨＡ或→ＨＡ２＋→ＢＣ２＝→ＨＢ２＋→ＣＡ２ ＝→ＨＣ２＋→ＡＢ２．反之，若→ＨＡ·→ＨＢ＝→ＨＢ·→ＨＣ＝→ＨＣ·→ＨＡ， 则Ｈ是△ＡＢ