第18期《几何证明初步》章末检测卷(答案见复习专号15版)-【数理报】2022-2023学年八年级上册初二数学同步学案（青岛版）

书书书 １９． （ 本 题 满 分 ７ 分 ） 如 图 １４ ，Ｐ 是 △ ＡＢＣ 内 一 点 ，∠ ＡＢＣ ，∠ ＡＣＢ 的 平 分 线 相 交 于 点 Ｐ ，ＣＥ 是 △ ＡＢＣ 的 外 角 ∠ ＡＣＤ 的 平 分 线 ．请 判 断 ∠ Ａ 与 ∠ Ｅ 有 什 么 关 系 ？并 说 明 理 由 ． ２０． （２０２１ 广 东 模 拟 ， 本 题 满 分 ７ 分 ） 如 图 １５ ，在 △ ＡＢＣ 中 ，ＢＤ ，ＡＥ 分 别 是 ＡＣ ，ＢＣ 边 上 的 高 ，它 们 相 交 于 点 Ｆ ，且 ＡＦ ＝ ＢＣ． 求 证 ：△ ＡＢＤ 是 等 腰 三 角 形 ． ２１． （ 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 １６ ，在 △ ＡＢＣ 中 ，∠ ＢＡＣ ＝ ９０°，ＢＥ 平 分 ∠ ＡＢＣ ，ＡＭ ⊥ ＢＣ 于 点 Ｍ ，交 ＢＥ 于 点 Ｇ ，ＡＤ 平 分 ∠ Ｍ ＡＣ ，交 ＢＣ 于 点 Ｄ ，交 ＢＥ 于 点 Ｆ．求 证 ：线 段 ＢＦ 垂 直 平 分 线 段 ＡＤ ． ２２．（ 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 １７ ， ＢＤ 为 △ ＡＢＣ 的 角 平 分 线 ， 若 ∠ ＡＢＣ ＝ ６０°，∠ ＡＤ Ｂ ＝ ７０°，点 Ｅ 为 线 段 ＢＣ 上 一 点 ， 当 △ Ｄ ＣＥ 为 直 角 三 角 形 时 ，求 ∠ ＢＤ Ｅ 的 度 数 ． ２３． （２０２２ 广 水 协 作 区 期 中 ， 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 １８ ，已 知 两 条 射 线 ＢＭ ∥ ＡＮ ，动 线 段 ＣＤ 的 两 个 端 点 Ｃ ，Ｄ 分 别 在 射 线 ＢＭ ，ＡＮ 上 ，且 ∠ Ｂ ＝ ∠ ＡＤ Ｃ ＝ １１０°，点 Ｆ 在 线 段 ＢＣ 上 ，ＡＣ 平 分 ∠ Ｄ ＡＦ ，ＡＥ 平 分 ∠ ＢＡＦ． （１ ） 请 判 断 ＡＢ 与 ＣＤ 的 位 置 关 系 ，并 说 明 理 由 ； （２ ） 求 ∠ ＣＡＥ 的 度 数 ； （ ３ ） 若 平 行 移 动 ＣＤ ，使 ∠ ＢＥＡ ＝ ３２ ∠ ＡＣＤ ，求 ∠ ＡＣＤ 的 度 数 ． ２４． （２０２２ 绍 兴 ， 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 １９ ， 在 △ ＡＢＣ 中 ，∠ ＡＢＣ ＝ ４０°，∠ ＡＣＢ ＝ ９０°，ＡＥ 平 分 ∠ ＢＡＣ 交 ＢＣ 于 点 Ｅ ，Ｐ 是 ＢＣ 边 上 的 动 点 （ 不 与 Ｂ ，Ｃ 重 合 ） ，连 接 ＡＰ ， 将 △ ＡＰＣ 沿 ＡＰ 翻 折 得 到 △ ＡＰＤ ， 连 接 Ｄ Ｃ ， 记 ∠ ＢＣＤ ＝ α ． （１ ） 当 点 Ｐ 与 点 Ｅ 重 合 时 ，求 α 的 度 数 ； （２ ） 当 点 Ｐ 与 点 Ｅ 不 重 合 时 ，记 ∠ ＢＡＤ ＝ β ，请 探 究 α 与 β 的 数 量 关 系 ． !"# $ %&!' $ ()*+,-./01 !"# $ %&!' $ ()2+,-./01 ! " # $ % & ' ( ) * ! " + , ! ! # ! " # $ % & ! % $ & ! ! $ $ & ! % ' ( ! % " % $ ) & ( ' * + ! ! & ) ' $ & " # ! ) ' ! " " $ % & ! % ' $ & ! % ( ) % ' ( , + 书 等腰三角形是研究几何图形的基础，在许多几何问 题中，常常需要构造等腰三角形才能使问题获解．那么 如何构造等腰三角形呢？一般来说有以下三种途径： 一、利用角平分线 ＋平行线，构造等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就 可以寻找到等腰三角形．如图 １－① 中，若 ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，ＥＣ∥ＡＤ，则△ＡＣＥ是等腰三角形；如图１－② 中，若ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＥ∥ＡＣ，则△ＡＤＥ是等腰三角 形；如图 １－③ 中，若 ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，ＣＥ∥ ＡＢ，则 △ＡＣＥ是等腰三角形；如图１－④中，若ＡＤ平分∠ＢＡＣ， ＥＦ∥ＡＤ，则△ＡＧＥ是等腰三角形． 二、利用角平分线 ＋垂线，构造等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和垂 线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如 图２中，若 ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，ＡＤ⊥ ＤＣ，则 △ＡＥＣ是等腰三角形． 三、利用转化倍角，构造等腰三角形 当一个三角形中出现一个角是另一 个角的２倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三 角形．如图３－①中，若∠ＡＢＣ＝２∠Ｃ，如果作ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，则 △ＤＢＣ是等腰三角形；如图 ３－② 中，若 ∠ＡＢＣ＝２∠Ｃ，如果延长线段ＣＢ到Ｄ，使ＢＤ＝ＢＡ，连 接ＡＤ，则△ＡＤＣ是等腰三角形；如图３－③中，若∠Ｂ＝ ２∠ＡＣＢ，如果以 Ｃ为角的顶点，ＣＡ为角的一边，在 △ＡＢＣ外作∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ，交ＢＡ的延长线于点Ｄ，则 △ＤＢＣ是等