第17期 5.5三角形内角和定理5.6几何证明举例(答案见下期)-【数理报】2022-2023学年八年级上册初二数学同步学案（青岛版）

书 附加题 （１）设 Ａ灯转动 ｔ秒，两灯的光束互相平 行． Ａ灯转到 ＡＮ需要 的时间为：１８０÷１５＝ １２（ｓ）． ① 当 ０＜ｔ＜１２ 时， 根据题意，得１５ｔ＝ （４＋ｔ）×５，解得ｔ＝２； ②当１２≤ ｔ＜２４ 时， 根据题意，得１５ｔ－ １８０＝１８０－（４＋ｔ）× ５，解得ｔ＝１７； ③当２４≤ ｔ＜３６ 时， 根据题意，得１５ｔ－ ３６０＝（４＋ｔ）×５，解得 ｔ＝３８（舍去）． 综上所述，Ａ灯转 动２秒或１７秒时，两灯 的光束互相平行． （２）２∠ＢＡＣ ＝ ３∠ＢＣＤ．理由如下： 设Ａ灯转动的时间 为 ｘ秒，则 ∠ＭＡＣ ＝ １５ｘ，∠ＰＢＣ＝５ｘ． 所 以 ∠ＣＡＮ ＝ １８０°－１５ｘ．所以∠ＢＡＣ ＝∠ＢＡＮ－∠ＣＡＮ ＝ １５ｘ－１３５°． 因为ＰＱ∥ ＭＮ，所 以 ∠ＢＣＡ＝∠ＰＢＣ＋ ∠ＣＡＮ＝１８０°－１０ｘ． 因 为 ∠ＡＣＤ ＝ ９０°，所以∠ＢＣＤ＝９０° －∠ＢＣＡ＝１０ｘ－９０°． 因为∠ＢＡＣ＝１５ｘ －１３５°，所以２∠ＢＡＣ＝ ３∠ＢＣＤ． 书 “ＨＬ”可以判定直角三角形全等，但是一定要注意 它不是判定直角三角形全等的惟一方法，前面学习的判 定一般三角形全等的方法都适用于直角三角形．下面举 例加以说明． 一、运用“ＨＬ”判定直角三角形全等 例 １　（２０２２遵义 模 拟）如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ＡＥ，ＤＥ⊥ ＡＢ．若 ∠ＢＤＥ ＝４６°，则 ∠ＤＡＥ＝ ． 分析：根据直角三角形的性质求得 ∠Ｂ的度数，即 可得到 ∠ＢＡＣ的度数，再运用“ＨＬ”证明 △ＡＣＤ≌ △ＡＥＤ，得到∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ即可得解． 解：因为ＤＥ⊥ＡＢ，所以∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＤ＝９０°． 所以∠Ｂ＋∠ＢＤＥ＝９０°． 因为∠Ｃ＝９０°，所以∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＝９０°． 所以∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＥ＝４６°． 在Ｒｔ△ＡＣＤ和Ｒｔ△ＡＥＤ中，因为 ＡＤ＝ＡＤ， ＡＣ＝ＡＥ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＣＤ≌Ｒｔ△ＡＥＤ（ＨＬ）． 所以∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ＝ １２∠ＢＡＣ＝２３°． 故填２３°． 二、运用“ＡＳＡ”或“ＡＡＳ”判定直角三角形全等 例２　 如图 ２，Ｒｔ△ＡＢＣ和 Ｒｔ△ＥＤＦ中，∠Ｂ＝∠Ｄ，在不添 加任何辅助线的情况下，请你添 加一个条件： ，使 Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△ＥＤＦ全等． 分析：本题是一道开放型的题目，答案不惟一，只要 符合三角形全等的判定定理即可． 解：①添加条件：ＡＢ＝ＥＤ． 证明：在△ＡＢＣ和△ＥＤＦ中，因为 ∠Ｂ＝∠Ｄ， ＡＢ＝ＥＤ， ∠Ａ＝∠ＤＥＦ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＥＤＦ（ＡＳＡ）． ②添加条件：ＢＣ＝ＤＦ或ＡＣ＝ＥＦ或ＡＥ＝ＣＦ（添 加这三个条件所用到的判定方法相等，此处以ＢＣ＝ＤＦ 为例进行证明）． 证明：在△ＡＢＣ和△ＥＤＦ中，因为 ∠Ａ＝∠ＤＥＦ， ∠Ｂ＝∠Ｄ， ＢＣ＝ＤＦ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＥＤＦ（ＡＡＳ）． 故填ＡＢ＝ＥＤ或ＢＣ＝ＤＦ或ＡＣ＝ＥＦ或ＡＥ＝ＣＦ． 书 一、“三角形的外角与它 相邻的内角互补”的应用 例１　 在三角形的三个 外角（一个顶点只取一个外 角）中，钝角的个数至少是 （　　） Ａ．３　　　　　　Ｂ．２ Ｃ．１　 Ｄ．０ 解：因为三角形的每一 个外角都与其相邻的内角互 补，所以当相邻的内角是锐 角时，这个外角才是钝角．又 因为三角形中最少有２个锐 角，所以三角形的三个外角 中至少有两个钝角． 故选Ｂ． 二、“三角形的一个外角 大于任何一个和它不相邻的 内角”的应用 例２　如图１，在△ＡＢＣ中， ＡＤ为ＢＣ边上的中线，ＡＥ为ＢＤ 边上的中线，ＡＦ为 ＤＣ边上的 中线，则下列结论错误的是 （　　） Ａ．∠１＞∠２＞∠３＞∠Ｃ Ｂ．ＢＥ＝ＥＤ＝ＤＦ＝ＦＣ Ｃ．∠１＞∠４＞∠５＞∠Ｃ Ｄ．∠１＝∠３＋∠４＋∠５ 解：Ａ．由三角形外角的性质可得∠１＞∠２＞∠３ ＞∠Ｃ，故此选项正确，不合题意；Ｂ．因为 ＡＤ为 ＢＣ边 上的中线，ＡＥ为ＢＤ边上的中线，ＡＦ为ＤＣ边上的中线， 所以ＢＥ＝ＥＤ＝ＤＦ＝ＦＣ，故此选项正确，不合题意； Ｃ．无法得出∠４＞∠５＞∠Ｃ，故此选项错误，符合题 意；Ｄ．因为∠１＝∠２＋∠４，∠２＝∠５＋∠３，所以∠１ ＝∠３＋∠４＋∠５，故此选项正确，不合题意． 故选Ｃ． 三、“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内 角的和”的应用 例３　（２０２２泸州）如图２，直 线ａ∥ｂ，直线ｃ分别交 ａ，ｂ于点 Ａ，Ｃ，点Ｂ在直线ｂ上，ＡＢ⊥ＡＣ． 若∠１＝１３０°，则∠２的度数是 （　　） Ａ．３０°　　　Ｂ．４０°　　　Ｃ．５０°　　　Ｄ．７０° 解：因为ＡＢ⊥ＡＣ，所以∠ＢＡＣ＝９０°．因为∠１＝ １３０°，所以∠ＡＢＣ＝∠１－∠ＢＡＣ＝４０°．又因为直线ａ ∥ｂ，所以∠２＝∠ＡＢＣ＝４０°． 故选Ｂ． 书 如图１，线段ＡＢ，ＣＤ