热点1-2 不等式与复数8大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

热点1-2 不等式与复数8大题型 1、不等式 不等式的性质、求解、证明以及应用时每年高考的必考内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值问题。但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，其中在解析几何中利用不等式求解、范围或解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高。 2、复数 复数是高考数学的必考题，常见考查复数的四则运算、共轭复数、实部、虚部、模等概念，偶尔考查几何意义-复数与平面内的点对应，基本出现在前2题的位置，难度不大，属于容易题。 一、解一元二次不等式的步骤 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集. 二、含参数的一元二次不等式讨论依据 1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。 三、分式、高次、绝对值不等式的解法 1、分式不等式的解法：解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。 2、高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） （4）穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） （5）得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 3、绝对值不等式： （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）． （4）或 四、利用基本不等式求最值 1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2. 【题型1 不等式的性质应用】 【例1】（2022·山东菏泽·高三期中）（多选）已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（2022·山东德州·高三期中）（多选）若，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）若，则下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022·江苏南通·高三期中）设，，，下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-4】（2022·湖北·宜都二中高三期中）（多选）已知，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型2 一元二次不等式的解法】 【例2】（2022·全国·高三专题练习），．解关于的不等式：． 【变式2-1】（2022·安徽·肥东县综合高中高三阶段练习）已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022·上海奉贤·高三期中）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为_________. 【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【题型3 其他不等式的解法】 【例3】（2022·江苏淮安·高