专题02 正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题（精讲精练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）

专题02 正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题 【命题规律】 解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度． 【核心考点目录】 核心考点一：倍长定比分线模型 核心考点二：倍角定理 核心考点三：角平分线模型 核心考点四：隐圆问题 核心考点五：正切比值与和差问题 核心考点六：四边形定值和最值 核心考点七：边角特殊，构建坐标系 核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 核心考点九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范围 【真题回归】 1．（2022·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 2．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 3．（2022·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． （1）若，求C； （2）证明： 4．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 【方法技巧与总结】 1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素． 2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪个公式． 3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围． 4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识． 5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值． 6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解． 7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值． 【核心考点】 核心考点一：倍长定比分线模型 【规律方法】 如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接，易知∥，且，．． 【典型例题】 例1．（2022·福建·厦门双十中学高三期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 例3．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，，． (1)求AD的长度； (2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度． 例4．（2022·广西柳州·高三阶段练习（文））已知，将的图象向右平移单位后，得到的图象，且的图象关于对称． (1)求； (2)若的角所对的边依次为，且，，若点为边靠近的三等分点，试求的长度． 例5．（2022·全国·高三专题练习）在中，D为上靠近点C的三等分点，且．记的面积为． (1)若，求； (2)求的取值范围． 例6．（2022·全国·高三专题练习）已知，，分别是内角，，所对的边，且满足，若为边上靠近的三等分点，，求： （1）求的值； （2）求的最大值． 例7．（2022·全国·高三专题练习）在①②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解. 问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，c=8，点M，N是BC边上的两个三等分点，，___________，求AM的长和外接圆半径. 例8．（2022·湖北·高三期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，． (1)求角B； (2)若边上的点D满足，，求的面积． 核心考点二：倍角定理 【规律方法】 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1： 推论2： 【典型例题】 例9．（2022·广西·灵山县新洲中学高三阶段练习（文））在锐角中，角所对的边为，且. (1)证明: (2)若，求的取值范围. 例10．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知a，