专题01 三角函数的图象与综合应用（精讲精练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）

专题01 三角函数的图象与综合应用 【命题规律】 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查： 1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查； 2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查. 3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度． 【核心考点目录】 核心考点一：齐次化模型 核心考点二：辅助角与最值问题 核心考点三：整体代换与二次函数模型 核心考点四：绝对值与三角函数综合模型 核心考点五：的取值与范围问题 核心考点六：三角函数的综合性质 【真题回归】 1．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以. 故选：A 2．（2022·全国·高考真题（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 3．（2022·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 4．（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 5．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 6．（2022·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为： 【方法技巧与总结】 1、三角函数图象的变换 （1）将的图象变换为的图象主要有如下两种方法： （2）平移变换 函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对作的变换； （3）伸缩变换 ①沿轴伸缩时，横坐标伸长或缩短为原来的（倍）（纵坐标不变）； ②沿轴伸缩时，纵坐标伸长或缩短为原来的（倍）（横坐标不变）． （4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移． 2、三角函数的单调性 （1）三角函数的单调区间 的单调递增区间是， 单调递减区间是； 的单调递增区间是， 单调递减区间是； 的单调递增区间是． （2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合，， ，的图象进行判断会很快得到正确答案． 3、求三角函数最值的基本思路 （1）将问题化为的形式，结合三角函数的图象和性质求解. （2）将问题化为关于或的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解. （3）利用导数判断单调性从而求解. 4、对称性及周期性常用结论 （1）对称与周期的关系 正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期. （2）与三角函数的奇偶性相关的结论 若为偶函数，则有；若为奇函数，则有. 若为偶函数，则有；若为奇函数，则有. 若为奇函数，则有． 5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法 （1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某