专题02 函数性质（单调性、奇偶性（对称性）与周期性综合）-2023年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题02 函数性质 （单调性、奇偶性（对称性）与周期性综合） 函数的性质一直都是高考考查的热点，综合考查抽象函数或具体函数的性质是高考中的难点，该类问题常把函数的奇偶性（对称性）、单调性综合考查，如果涉及周期性难度会更大（如2022年全国乙卷12题，2022年新高考1卷12题，2022年新高考2卷第8题）。正确理解函数的四大性质（单调性（最值）、奇偶性（对称性）、周期性），只有对这些概念做到准确、深刻的理解，才能正确、灵活地加以应用。函数性质主要考查数学抽象思维与逻辑推理能力。 一、热点题型归纳 题型1、单调性与最值（值域） 题型2、奇偶性及其运用 题型3、对称性及其运用 题型4、利用单调性与奇偶性（对称性）解不等式 题型5、与三角函数结合的对称性 题型6、周期性及其运用 题型7、利用双对称（中心对称、轴对称）构造出周期性 题型8、函数四大性质综合压轴 题型9、放大镜函数（似周期函数）问题 题型10、恒成立与存在性问题 题型11、函数整数解（根）问题 二、最新模考题组练 三、十年高考真题练 【题型1】 单调性与最值（值域） 【解题技巧】 1）若或，则函数是单调增函数； 2）若或，则函数是单调减函数； 3）奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，复合函数单调性——同增异减。 4）注意区分单调区间与在区间上单调。 5）单调性法是求函数最值的通法．求函数最值时，首先考虑讨论函数的单调性，除非某些特殊函数可以用其他方法求最值，如基本不等式法，配方法，导数法等。 【典例分析】 例1．（2022·成都市高三模拟（理））已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，问题转化为：求在上单调递减，且恒成立时的范围. 【详解】令，因为是增函数，所以，要使在上单调递减， 只需在上单调递减，且恒成立. 故，解得．故选：D. 例2．（2022·河南洛阳市·高三模拟）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，，已知，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指数函数性质求得的值域，然后再根据新定义求的值域． 【详解】，显然，， 所以的值域是， 当时，， 时，，当时，所以所求值域是．故选：C． 【变式演练】 1．（2022·安徽·高三二模）设函数，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出的图像，求出的单调区间，再结合已知条件可得且，从而可求出实数的取值范围 【详解】解：函数的图像如图所示， 函数在以及上递增，在上递减， 故若函数在区间上单调递减，需满足且，即，故选：A． 2．（2022·贵州·高三三模）设函数，则（ ） A．是偶函数，在上单调递减 B．是奇函数，在上单调递增 C．是偶函数，在上单调递增 D．是奇函数，在上单调递增 【答案】B 【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质直接判断单调递增，判断B正确；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，排除D即可. 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称. 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，故B正确； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D错误.故选：B 【点睛】方法点睛：1、定义法判定函数奇偶性的一般步骤：（1）判断函数定义域关于原点对称； （2）计算，并与进行比较；（3）根据函数奇偶性的定义判断得出结论. 2、复合函数单调性的判断方法为先将函数拆分为和，分别判断单调性，遵循“同增异减”的法则进行判断即可. 3．（2022·山东高三专题练习）已知函数在上的最大值是6，则实数的值是_______. 【答案】或 【分析】对进行分类讨论，结合函数的单调性和最值，求得的值. 【详解】不妨设的定义域为， 当时，，，不符合题意. 当时，设，在区间上递增，值域为，即. 即.，而，， 在上为增函数，故要使函数在上的最大值是6， 则或，所以或.故答案为：或 【题型2】 奇偶性及其运用 【解题技巧】 1）是偶函数;是奇函数. 2）若函数在处有意义，则. 3）若 满足对任意实数a,b都有,则是奇函数; 4）若的定义域，且对任意，都有，则是偶函数. 5）常见复杂的奇函数： (1)，；，； (2)，； (3)，，。 【典例分析】 例1．（2022·江西·高三阶段练习）设函数，若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性求出，得到函数的解析式，