专题10 最值模型-胡不归问题-2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题10 最值模型---胡不归问题 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。 【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？ 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分） 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。 例1．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____． 【答案】4 【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果． 【详解】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P， 此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝， ∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝AB•sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线． 例2．（2022·湖北武汉·一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于， ，，， ， ，，，， 当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小， 当，，三点共线时，有最小值，此时， 的最小值为，故答案为． 【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换． 例3．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH 【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小 ∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形 ∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH= ∴此时得到最小值， ∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案为： 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键. 例4．（2022·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的坐标，然后证明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直