专题05 几何最值之阿氏圆模型-2023年中考数学几何模型专项复习与训练（四川专用）

专题05 几何最值之阿氏圆模型 模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示： 易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有. 对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需 【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB ②计算出这两条线段的长度比 ③在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则， ④则，当A、P、C三点共线时可得最小值 例1．（2021·四川乐山·三模）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝4，AD＝2，点P是以AB为直径的半圆O上一点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为____． 例2．（2019·四川成都·一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是_____． 例3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【变式训练1】（2022·四川成都·模拟预测）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____． 【变式训练2】（2022·四川·成都嘉祥外国语学校八年级期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接．当时，的长为___________；在点的运动过程中，的最小值为___________． 【变式训练3】（2020·全国·九年级专题练习）如图，的半径为，，Q为上一动点，则的最小值____________．的最小值_______ 课后训练 1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________． 2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________. 3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________． 4．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求： ①，②， ③，④的最小值． 5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值． 6．（2022·广东惠州·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值． 7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD （1）求证：△BDC≌△AFC （2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值； （3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋AD的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 几何最值之阿氏圆模型 模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示： 易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有. 对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需 【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB ②计算出这两条线段的长度比 ③在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则， ④则，当A、P、C三点共线时可得最小值 例1．（2021·四川乐山·三模）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝4，AD＝2，点P是以AB为直径的半圆O上一点，连接PC