专题20 最值问题中的构造圆与隐形圆模型-2023年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国通用）

专题20 最值问题中的构造圆与隐形圆模型 【模型展示】 特点 隐形圆解决点圆最值 平面内一定的D和○O上动点M的连线中，当连线过圆心O时，线段DM有最大值和最小值。分以下情况讨论：（设OD=d，○O的半径为r） 1、点D在○O外时，d＞r，如图： 当D、M、O三点共线时，线段DM出现最值，DM的最大值为d+r，DM的最小值为d-r; 2、当点D在○O上时，d=r，如图： 当D、O、M三点共线时，线段DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为d-r=0(即点D与点M重合） 3、当点D在○O内时，d＜r，如图 当点D、O、M三点共线时，DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为|d-r|=r-d; 点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题； 构造圆解决点圆最值 一、定点定长 1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。 二、定弦定角 2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。 结论 点的距离的最值问题 【题型演练】 一、单选题 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（    ） A．2 B．π C．2π D．π 【答案】D 【详解】解：如图， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB， ∴CD⊥AB， ∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCF， ∵∠AED＝∠CEG， ∴∠ADE＝∠CGE＝90°， ∴A、C、G、D四点共圆， ∴点G的运动轨迹为弧CD， ∵AB＝4，ABAC， ∴AC＝2， ∴OA＝OC， ∵DA＝DC，OA＝OC， ∴DO⊥AC， ∴∠DOC＝90°， ∴点G的运动轨迹的长为π． 故选：D． 2．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（    ） A．π B．π C．π D．2π 【答案】A 【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示： ∵N为BM的中点，Q为AB的中点， ∴NQ为△BAM的中位线， ∵AM⊥BP， ∴QN⊥BN， ∴∠QNB＝90°， ∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的， ∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°， ∴ABCA＝4，∠QBD＝45°， ∴∠DOQ＝90°， ∴为⊙O的周长， ∴线段BM的中点N运动的路径长为：π， 故选：A． 3．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′． 【详解】如图， 由题意知，， 在以为直径的的上（不含点、可含点， 最短时，即为连接与的交点（图中点点）， 在中，，，则． ， 长度的最小值， 故选：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法． 4．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， 取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP， 点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P， 当点O、点P、点C三点共线时，PC最小 在中， ，，， ， 最小值为 故选：D． 【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解． 5．