精品解析：上海市建平中学2023届高三上学期9月月考数学试题

2022-2023学年上海市建平中学高三上学期9月月考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 设集合，则______. 2. 函数最小正周期是______． 3. 函数的定义域为_____. 4. 函数的单调递增区间是_________． 5. 已知向量、单位向量，且，则______. 6. 若（虚数单位）是实系数一元二次方程的根，则________. 7. 函数的反函数为______. 8. 已知函数，则_____. 9. 已知函数在处取得极值，则实数_____. 10. 不等式的解集为，则不等式的解集为_________. 11. 已知双曲线，点是双曲线的右焦点，是双曲线的右顶点，过点作轴的垂线，交双曲线于两点，若，则双曲线的离心率为____. 12. 定义几类集合的长度：（1）集合的长度为；（2）集合(其中)的长度为；（3）空集的长度为0.设，则不等式的解集的长度的最大值为____. 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 用反证法证明命题“若，则a，b中至少有一个不为0”成立时，假设正确的是（ ） A. a，b中至少有一个为0 B. a，b中至多有一个不为0 C. a，b都不为0 D. a，b都为0 14. 如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（ ） A. 是奇数且 B. 是偶数，是奇数，且 C. 是偶数，是奇数，且 D. 是奇数，且 15. 甲、乙两人在6天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则在这6天中，下列结论正确的是（ ） A. 甲、乙两人加工零件数的极差相同 B. 甲、乙两人加工零件数的中位数相同 C. 甲加工零件数的众数小于乙加工零件数的众数 D. 甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数 16. 设是定义在上的三个函数，则以下命题中正确的个数是（ ） ①若均为奇函数，则均为奇函数； ②若均为上的严格增函数，则中至少有一个为上的严格增函数； ③若均是以为周期的函数，则均是以为周期的函数； A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 公差不为零的等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求使成立的最大正整数. 18. 正方体的棱长为2，点、分别是、的中点，求： （1）直线与所成的角的余弦值； （2）点到平面距离. 19. 已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围. 20. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 （1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取5个，求恰好有2个水果是礼品果的概率（结果用分数表示）； （2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考， 方案1：不分类卖出，单价为21元； 方案2：分类卖出，分类后水果售价如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价（元 16 18 22 24 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ （3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及方差. 21. 已知函数且为常数）. （1）当，求函数的最小值； （2）若函数有2个极值点，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年上海市建平中学高三上学期9月月考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 设集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以. 故答案为：. 2. 函数最小正周期是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据周期公式，即可求解. 【详解】根据周期公式可知. 故答案为： 3. 函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由解析式有意义列不等式组，解不等式求其解集可得函数的定义域. 【详解】由有意义可得自变量应满足条件，由解得，由不等式解得，所以或，所以函数定义域为.