第01讲 集合（知识总结+必会题型+好题必刷）-2022-2023学年高一数学上学期期末备考讲与练（北师大版2019必修第一册）

第1讲 集合 期末大总结 目 录 速 览 第一部分：必会知识结构导图 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：集合的含义与表示 必会题型二：集合间的基本关系 必会题型三：集合的基本运算 必会题型四：Venn图法解决集合运算问题 必会题型五：分类讨论法解决元素与集合关系问题 必会题型六：根据集合包含关系求参数值或范围 第一部分：知识结构导图速看 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 1．集合与元素的概念 (1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记． (2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．元素常用小写字母a，b，c，d，…标记． 2．元素与集合的关系 (1)属于：若a在集合A中，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：若a不在集合A中，就说a不属于集合A，记作a∉A． 3．集合中元素的特性 (1)确定性；(2)互异性(元素互不相同)； (3)无序性：如{1，2，3}和{3，2，1}表示同一个集合． 4．集合的表示 (1)列举法：列举法是把集合中的元素一一列举出来并用大括号“{}”括起来的方法(元素之间用“，”隔开)，如{1，2，3}． (2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法。它的一般形式为{x∈A|p(x)}，如{(x，y)|xy＝0}、{x|(x＋1)(x－3)＝0}、{y|y＝x2}． 5．常用数集及表示符号： 自然数集N；正整数集N*或N＋；整数集Z；有理数集Q；实数集R。 6．集合的分类 (1)有限集：我们把含有限个元素的集合叫有限集． (2)无限集：含无限个元素的集合叫无限集． (3)空集：我们把不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅． 7．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合这种图称为Venn图(可以是圆，椭圆，矩形等封闭曲线)。 8．集合相等、子集、真子集 [包含于(⊆)，包含(⊇)，真包含于()，真包含()] 概念 定义 符号表示 图形表示 集合相等 如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，称集合A与集合B相等 A＝B 子集 如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素(若a∈A则a∈B )，那么集合A称为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 真子集 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集 AB或(BA) 9．当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作AB(或BA)． 10．常用结论 (1)对于集合A，B，如果A⊆B且B⊆A则A＝B． (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C(注意A＝∅)． (3)对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC． (4)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即对任何一个集合A，都有∅⊆A． (5)空集只有一个子集，即它本身；空集无真子集． 11．n个元素的集合有 (1)2n个子集； (2)2n－1个真子集； (3)2n－1个非空子集；(4)2n－2个非空真子集． 12．并集、交集与补集 并集A∪B 交集A∩B 补集∁U 文字符号语言 集合A和B的元素合并在一起组成的集合。 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 集合A和B的公共元素组成的集合。 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 全集U中不属于A的所有元素构成的集合。 ∁U A＝{x|x∈U且x∉A} 图形语言 常用运算 A∪∅＝A； A∪B⊇A；B⊆A∪B A∪B＝A⇔B⊆A (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)； A∩∅＝∅； A∩B⊆A；A∩B⊆B； A∩B＝A⇔A⊆B (A∩B)∩C＝A∩(B∩C)； ∁UU＝∅；∁U∅＝U； ∁U(∁UA)＝A； A∪∁UA＝U； A∩∁UA＝∅ A⊆B⇔∁UB⊆∁UA． 13．知识拓展 (1)集合的分配律：A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) (2)德·摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB) [“交的补”等于“补的并”]； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB) [“并的补”等于“补的交”] 德·摩根法则的理解如图： (3)全集与补集各部分的韦恩图表示(如图) (4)容斥定律(求集合元素的个数)：设有限集A的元素个数为card(A)，例如集合A＝{a，b，c}，则card(A)＝3；则在求集合元素个数时常用到以下公式及图形解释(如图) ①card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B) ②card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋ca