3.1.5空间向量运算的坐标表示 导学案-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1

 

 

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(理) 3.1.5空间向量运算的坐标表示

一、学习目标、细解考纲

二、自主学习

1.空间直角坐标系

空间选定一点O和一个单位正交基底,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.

2.点的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=xi+yj+zk.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.

3.向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a=(x,y,z).

4..空间向量的坐标运算法则

设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么

向量运算	向量表示	坐标表示
加法	a+b
减法	a-b
数乘	λa
数量积	a·b

(a1+b1,a2+b2,a3+b3) ;(a1-b1,a2-b2,a3-b3)　 ;(λa1,λa2,λa3)　 ;a1b1+a2b2+a3b3

5. 空间向量的坐标与其端点坐标的关系:

设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).

即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

6..空间向量平行与垂直条件的坐标表示

若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则

(1)当b≠0时,a∥b⇔a=λb⇔　　         　　　　　　(λ∈R); 

(2)a⊥b⇔　　　　　⇔　　　　　　　　　　. 

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 ;a·b=0 ;a1b1+a2b2+a3b3=0

注意：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔

7.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示

若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则

(1)|a|==　　　　　　　; 

(2)cos<a,b>==　　　                    　　　　　; 

(3)若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1,P2两点间的距离为||=　　　　               　. 

;;.

三、探究应用,“三会培养”

例1在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.

解:由已知AO⊥OB,O1O⊥OA,O1O⊥OB,从而建立以方向上的单位向量i,j,k为正交基底的空间直角坐标系Oxyz,如图,则=4i,=2j,=4k,

=-=-()=-=-=-2i-j-4k,故的坐标为(-2,-1,-4).

-()==-4i+2j-4k,

故的坐标为(-4,2,-4).

即=(-2,-1,-4),=(-4,2,-4).

 

变式1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,若以{}为基底,则向量的坐标为　　　　　,向量的坐标为　　　　　,向量的坐标为　　　　　. 

 

　(1,1,1)

解析:因为,所以向量的坐标为.

因为,

所以向量的坐标为.

因为,所以向量的坐标为(1,1,1).