4.5 增长速度的比较-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第二册)

4.5 增长速度的比较 一、平均变化率 1、定义：函数在区间或上的平均变化率为. 2、意义：平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位，因此可以用平均变化率来比较函数值变换的快慢。 3、平均变化率的几何意义：设，是曲线上任意不同的两点， 函数的平均变化率为割线AB的斜率，如图． 4、注意事项 （1）是一个整体符号，而不是与相乘，它可以是正数，也可为负数，但一定不为零； 也是一个整体符号，可为正数、负数，也可为零； （2）注意自变量与函数值的对应关系，若，则； 若，则； （3）在区间上的平均变化率是曲线在区间陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，平均变化率的绝对值越大，曲线在区间上越“陡峭”，反之亦然。 5、求平均变化率的步骤： 第一步：计算函数值的改变量； 第二步：计算自变量的改变量； 第三步：求平均变化率 二、增长速度的比较 1、几种不同增长的函数模型 （1）线性函数模型：线性函数模型的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变； （2）指数函数模型：指数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”； （3）对数函数模型：对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓，可称为“对数增长”； （4）幂函数模型：当，时，幂函数是增函数，且当时，越大，其函数值的增长速度就越快。 2、指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 一般地，在区间上，尽管函数，和都是增函数， 但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上. 随着的增大，的增长速度会越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越老越慢. 因此，总会存在一个，当时，就有 题型一 求函数的平均变化率 【例1】函数在区间上的平均变化率为___________. 【变式1-1】若函数的图象上有点及邻近点，则的值为（ ） A．4 B． C． D． 【变式1-2】对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-3】若函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则（ ） A． B． C． D．与的大小关系与的取值有关 【变式1-4】已知，函数，则下面结论中正确的有__________.（填上所有正确结论的序号） ①函数在区间上的平均变化率总是大于； ②函数在区间上的平均变化率总是小于； ③函数在区间上的平均变化率随着的增大而增大； ④函数在区间上的平均变化率随着的增大而减小. 题型二 函数模型增长差异的比较 【例2】以下四种说法中，正确的是（ ） A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x>0， C．对任意的x>0， D．不一定存在x0，当x>x0时，总有 【变式2-1】（多选）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 【变式2-2】下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】下面对函数，与在区间上的衰减情况的叙述正确的是（ ） A．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢 B．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快 C．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢 D．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快 题型三 平均变化率在实际中的作用 【例3】某棵果树前n年的总产量与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，求m的值. 【变式3-1】某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 【变式3-2】某公司的盈利y（元）和时间x（天）的函数关系是，假设恒成立，且，，则这些数据说明后10天与前10天比较（ ） A．公司已经亏损 B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大 C．公司在亏损且亏损幅度变小 D．公司的盈利在增加，增加的幅度变小 【变式3-3】河流在一段时间内流过的水量为，已知y是x的函数，且．当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有