易错点15 计数原理、排列组合、二项式定理-备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题15 计数原理与排列组合、二项式定理 易错分析 【正解】 一、混淆二项式系数与项的系数致错 1．的展开式中的系数为（ ） A．10 B．20 C．90 D．80 【错解】A，由题可得 令,则, 所以的展开式中的系数为，故选A. 【错因】错把二项式系数当成项的系数。 【正解】C，由题可得 令,则,所以，故选C. 2、的展开式中,系数最大的项是第 项 【错解】6或7，的展开式中共12项,第6项的系数为,第7项的系数为,又=， 所以数最大的项是第6或7项. 【错因】错把二项式系数当成项的系数。 【正解】的展开式中共12项,第6项的系数为,第7项的系数为, 所以数最大的项是第7项. 二、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r项致错 3、二项式的展开式的第二项是（ ） A． B． C． D． 【错解】展开式的通项为,令,可得展开式的第二项为=.故选A. 【错因】误认为第二项是而错误 【正解】展开式的通项为,令,可得展开式的第二项为=.故选D. 三、混淆均匀分组与部分均匀分组致错 4、某校高二年级共有六个班,现从外地转入名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排名,则不同的安排方案种数为（） A． B． C． D． 【错解】选A，先将4名学生均分成两组方法数为,再分配给6个年级中的2个分配方法数为,根据分步计数原理合要求的安排方法数为． 【错因】该题为均匀分组，忽略除以而错误. 【正解】先将4名学生均分成两组方法数为,再分配给6个年级中的2个分配方法数为, 根据分步计数原理合要求的安排方法数为．故选B． 5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（    ） A．72 B．108 C．216 D．432 【错解】A，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法，所以共有种不同的分配方案. 【错因】该题为部分均匀分组，应除以，而不是. 【正解】C，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法，所以共有种不同的分配方案. 四、计数时混淆有序与定序 6、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种． 【错解】，原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列方法有种． 【错因】忽略了不改变原来的节目顺序这一条件，即原来的七个节目是定序的。 【正解】原先七个节目的不同安排方法共有种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有＝720(种)． 7、身高互不相同的七名学生排成一排,从中间往两边越来越矮,不同的排法有（） A．5040种 B．720种 C．240种 D．20种 【错解】最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,有种排法,第二步：排右边,有 种排法,根据分步乘法计数原理,共有种,故选B． 【错因】混淆有序与定序 【正解】最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,因顺序固定有种排法,第二步：排右边,因顺序固定,有1种排法,根据分步乘法计数原理,共有种,故选． 五、混淆排列与组合导致计数错误 8．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是(　 ) A．1 260 B．2 025 C．2 520 D．5 040 【错解】先从10人中选出2人承担甲任务；再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种．故选A. 【错因】本题是组合问题，是无序的，不是排列问题。 【正解】选C，先从10人中选出2人承担甲任务；再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有CCC＝2 520种．故选C. 六、考虑问题不全面导致漏计出错 9、如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为(　 ) A．