易错点14 统计、概率、离散型随机变量及其分布列-备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题14 统计及统计案例、概率、随机变量及其分布列 易错分析 一、 互斥事件与对立事件关系模糊致错 1．某省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目．某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为(　 ) A．相互独立事件 B．对立事件 C．不是互斥事件 D．互斥事件但不是对立事件 【错解】选B，该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生，所以该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”是对立事件． 【错因】混淆互斥事件与对立事件概念 【正解】选D，该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生，但能同时不发 生，所以该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为互斥事件但不是对立事件． 2、某城市有两种报纸甲报与乙报供居民们订阅。记A=“只订甲报”，B=“至少订一种报”，C=“至多订一种报”，D=“不订甲报”，E=“一种报也不订”。判断下列事件是不是互斥事件？如果是互斥事件，再判断是不是对立事件。 ①A与C；②B与E；③B与D；④B与C；⑤E与C 【错解】选①或③或④或⑤ 【错因】两类事件的概念不清。 【正解】“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是指事件A与事件B在一次实验中不会同时发生，而对立事件是指事件A与事件B在一次实验中有且只有一个发生，因此，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，本题中“至少订一种报”与“一种报也不订”不可能同时发生，但必有一个发生，所以选②。 二、使用概率加法公式忽略成立条件致错 3、抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过3”,求P(A∪B)． 【错解】因为P(A)＝＝,P(B)＝＝,所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1. 【错因】事件A、B不是互斥事件,使用加法公式错误．注意，在应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解概率问题时,一定要注意分析事件是否互斥,若事件不互斥,可以转化为互斥事件,再用公式． 【正解】将A∪B分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件,记出现“1、2、3”为事件C,出现“5”为事件D,则C与D两事件互斥,所以P(A∪B)＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝. 三、求古典概型的概率基本事件重复或遗漏致错 3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a∈{1,2,3}，b∈{0,1,2}，则该函数有两个极值点的概率为(　　) A. B. C. D. 【错解】选C，f′(x)＝x2＋2ax＋b2，由题意知方程f′(x)＝0有两个相异实根， Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a＞b，有a＝1，b＝0；a＝2，b＝1；a＝3，b＝0,1,2， 共有5种，总的情况有3×3＝9种，所以所求概率为＝. 【错因】a＝2，b＝1或0，有两种情况，错解中遗漏了一种情况。 【正解】选B　f′(x)＝x2＋2ax＋b2，由题意知方程f′(x)＝0有两个相异实根， Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a＞b，有a＝1，b＝0；a＝2，b＝0,1；a＝3，b＝0,1,2， 共有6种，总的情况有3×3＝9种，所以所求概率为＝. 4、从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于(　 ) A. B. C. D. 【错解】选A或B或C 【错因】用列举法列举基本事件时因重复或遗漏而错误 【正解】如图所示,从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点,可以看作随 机选2个顶点,剩下的4个顶点构成四边形,有 共15种．若要构成矩形,只要选相对顶点即可,有,共3种,故其概率为＝. 5、箱子中有6件产品,其中4件正品,2件次品,每次随机取出1件检验,直到把所有次品检验出停止,则检验4次停止检验的概率为 . 【错解】. 【错因】忽略前4次全是正品的情况. 【正解】. 四、对条件概率概念理解不透致错 6．已知盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放置，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为(　 ) A. B. C. D. 【错解】选B，共有12只灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，共有种，则第1次抽到螺口灯泡，第2次抽到卡口灯