【金版学案，同步备课】2014-2015学年高中数学（必修五，苏教版）配套章末知识整合+过关检测：第1章 解三角形（2份）

第1章 解三角形 题型1　应用正余弦定理解三角形 　解答下列各题： (1)在△ABC中，若A＝30°，a＝，b＝2，求B； (2)(2010年山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，求A. ，b＝2，sin B＋cos B＝ 分析：已知三角形两边和其中一边的对角，求另一边的对角，根据问题条件可能出现唯一解、两解、无解的情况，解题时一定要根据问题条件，准确判定． 解析：(1)根据正弦定理，有， ＝ 即sin B＝. ＝，得sin B＝ ∵a<b，∴B>A＝30°，B为锐角或钝角． 即B＝45°或135°. (2)由sin B＋cos B＝， ＝1，∴B＝得sin 由正弦定理， ，得sin A＝＝ 又a＜b，∴A＜B，∴A＝. ►归纳拓展 已知两边和其中一边的对角解三角形，一般用正弦定理，但此时三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角，A>B则sin A>sin B”等关系来判定，也可以结合几何图形帮助理解记忆．具体模式如图，关键是比较bsin A与a和b的大小．当A为锐角，且bsin A＝a时，一解，bsin A>a，无解，bsin A＜a，两解，a≥b时一解，至于A＝90°，A>90°，情况较易． ►变式迁移 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，b＝1，则c为(　　) ，a＝ A．1　　　 B．2 C.－1 D. 解析：由正弦定理， ＝ ∴sin B＝. ＝＝ 又∵a>b，∴A>B，∴B为锐角， ∴B＝， ，于是C＝ ∴△ABC为直角三角形， ∴c＝＝2，故选B. 答：B 　(1)在△ABC中，a＝m，b＝n，c＝，求C； (2)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos C＝，求c及最大角的余弦值． 分析：(1)为△ABC中已知三边求一角，直接用余弦定理cos C＝求解即可． (2)为△ABC中已知两边及其夹角余弦求第三边，用c＝求最大角的余弦，不难想到“大边对大角”． 解析：(1)由余弦定理得cos C＝， 将a，b，c的值代入上式， 得cos C＝. ＝－ ∵0°<C<180°，∴C＝120°. (2)由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝72＋82－2×7×8×＝9. ∴c＝3. ∵b>a>c，∴在△ABC中，B最大． ∴cos B＝.＝－＝ ►归纳拓展 余弦定理有三个方面的应用：一是已知三角形的两边和它们的夹角，可以由余弦定理求出第三边，进而求出其余两角；二是已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角；三是正、余弦定理的综合应用，如已知三角形的两边及其一边的对角，除了能用正弦定理解三角形外，也可以用余弦定理来解三角形． ►变式迁移 2．(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝b，则角A等于(　　) A. D. C. B. 解析：由正弦定理， sin B，即sin A＝b可得2sin Asin B＝和2asin B＝＝ 又∵△ABC为锐角三角形，∴A＝. 答案：D 题型2　三角形形状的判断 　(2010年辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状． 分析：只要根据已知条件找到三角形的边或角的关系，就可以确定三角形的形状． 解析：(1)由已知，根据正弦定理，可得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc， 由余弦定理得cos A＝，∴A＝120°. ＝－ (2)解法一：由(1)，B＋C＝60°，B＝60°－C，由sin B＋sin C＝1，得sin(60°－C)＋sin C＝1， 即sin 60°cos C－cos 60°sin C＋sin C＝1， 即sin(C＋60°)＝1，而0°＜C＜60°，∴C＝30°. 故B＝30°，∴△ABC为等腰钝角三角形． 解法二：由(1)b2＋c2＋bc＝a2得 sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A， 即(sin B＋sin C)2－sin Bsin C＝， ∴sin Bsin C＝， 与sin B＋sin C＝1联立，解得sin B＝sin C＝， 而0°＜B，C＜60°，∴B＝C. ∴△ABC为等腰钝角三角形． ►归纳拓展 要注意正弦的多值性，否则可能漏解．如本例中的(1)；由条件不能只得到A＝B，而忽略A＋B＝.另外，还要注意等腰三角形或直角三角形与等腰直角三角形的区别． 判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角方法求