【金版学案，同步备课】2014-2015学年高中数学（必修五，苏教版）配套章末知识整合+过关检测：第2章 数列（2份）

第2章 数 列 题型1　求数列的通项公式 一、观察法 　写出下列数列的一个通项公式： (1)1，－7,13，－19,25，… (2)2，，…，，， (3)，2，…，，， (4)1,3,3,5,5,7,7,9,9，… 分析：观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系，以及所给数列与一些特殊数列之间的关系． 解析：(1)原数列的各项可看成数列{an}：1，－1,1，－1，…与数列{bn}：1,7,13,19,25，…对应项相乘的结果． 又an＝(－1)n＋1，bn＝1＋6(n－1)＝6n－5. 故原数列的一个通项公式为cn＝(－1)n＋1(6n－5)． (2)原数列可改写成 1＋，…. ，4＋，3＋，2＋ 故其通项公式为an＝n＋. (3)这个分数数列中分子、分母的规律都不明显，不妨把分子变成4，然后看分母，从而有，…， ，，， 分母正好构成等差数列，从而原数列的通项公式为 an＝. (4)注意到此数列的特点：奇数项与项数相等，偶数项比项数大1，故它可改写成 1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1，… 所以原数列的通项公式为an＝n＋. ＋ ►归纳拓展 (1)观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键． (2)由数列的前n项归纳出的通项公式不一定唯一．如数列5,0，－5,0,5，…的通项公式可为5cos(n∈N*)． (n∈N*)，也可为an＝5sin (3)已知数列的前n项，写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列．如{(－1)n}，{n}，{2n－1}，{2n}，{2n－1}，{n2}，等，观察所给数列与这些特殊数列的关系，从而写出数列的通项公式． ►变式迁移 1．写出下列数列的一个通项公式． (1)1，－，…； ，－， (2)，…； ，2，2， (3)1,3,6,10,15，…； (4)1，－4,7，－10,13，…. 解析：(1)an＝(－1)n＋1. (2)原数列可写成. ，…，易得an＝，，， (3)∵3＝1＋2,6＝1＋2＋3,10＝1＋2＋3＋4,15＝1＋2＋3＋4＋5，…，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝. (4)∵1,4,7,10,13，…组成1为首项，3为公差的等差数列，易得an＝(－1)n＋1(3n－2)． 二、利用an＝求an 　设Sn为数列{an}的前n项的和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 分析：由Sn与an的关系消去Sn(或an)，转化为an(或Sn)的递推关系求解． 解析：∵Sn＝(an－1)， ∴当n＝1时，S1＝a1＝(a1－1)，解得a1＝3. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(an－1－1)， (an－1)－ 得＝3， ∴当n≥2时，数列{an}是以3为公比的等比数列，且首项a2＝3a1＝9. ∴n≥2时，an＝9×3n－2＝3n.显然n＝1时也成立． 故数列的通项公式为an＝3n(n∈N*)． ►归纳拓展 已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)．这里常常因为忽略了n≥2的条件而出错，即由an＝Sn－Sn－1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n＝1时Sn－1＝S0，而与前n项和定义矛盾．可见由an＝Sn－Sn－1所确定的an，当n＝1时的a1与S1相等时，an才是通项公式，否则要用分段函数表示为 an＝ ►变式迁移 2．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求a1的值． 解析：(1)当n＝1时，T1＝2S1－1，而T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，解得a1＝1. (2)求{an}的通项公式． 解析：(2)n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1. ∴Sn＝2Sn－1＋2n－1，① Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，② ②－①得an＋1＝2an＋2， 即an＋1＋2＝2(an＋2)，亦即＝2. a1＋2＝3，a2＋2＝6，＝2， ∴{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列， ∴an＋2＝3·2n－1，故an＝3·2n－1－2. 三、叠加法 　已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1 (n≥2)．(1)求a2，a3； (2)证明an＝. 分析：已知a1，由递推公式可以求出a2，a3，因为an＝3n－1＋an－1属于an＋1＝an＋f(n)型递推公式，所以可以用叠加法求出an. 解析：(1)∵a1＝1， ∴a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13. (2)由已知an－an－1＝3n－1， 令n分别取2,3,4，…，n得 a2－a1＝31， a3－a2＝32， a4－a3＝33， … an－an－1＝3n－1， 以上n－1个式子相加，得an－a1＝31＋