必修5 2.3.1 2.3.2 第1课时 等比数列的概念及通项公式-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

2.3　等比数列 2．3.1　等比数列的概念 2．3.2　等比数列的通项公式 第1课时　等比数列的概念及通项公式 学习目标：1.理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2.会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3.会证明一个数列是等比数列．(难点) 1．等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式 如果数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)． 3．等比中项 (1)若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且满足G2＝ab. (2)若数列{an}是等比数列，对任意的正整数n(n≥2)，都有a＝an－1·an＋1. [基础自测] 1．思考辨析 (1)等比数列中，各项与公比均不为零． (　　) (2)数列a，a，…，a一定是等比数列． (　　) (3)等比数列{an}中，a1，a3，a5一定同号． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 2．在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16，则an＝________. [解析]　∵a4＝a1q3， ∴q3＝8，∴q＝2， ∴an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n. [答案]　2n 3．在等比数列{an}中，已知a1＝3，q＝3，若an＝729，则n＝________. [解析]　∵an＝a1qn－1，a1＝3，q＝3， ∴729＝3·3n－1＝3n， ∴n＝6. [答案]　6 4．若2是b－1，b＋1的等比中项，则b＝________. [解析]　∵(b－1)(b＋1)＝(2)2，∴b2－1＝8，∴b2＝9，∴b＝±3. [答案]　±3 5．若1，a,4成等比数列，则a＝________. [解析]　∵1，a,4成等比数列， ∴a2＝1×4＝4，∴a＝±2. [答案]　±2 等比数列的通项公式 　(1)若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比为________． (2)在等比数列{an}中，若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，则n＝________. [解析]　(1)∵a6＝a4q2，a5＝a4q，∴2a4＝a4q2－a4q，∴q2－q－2＝0，∴q＝－1或q2＝2.∴公比为－1或2. (2)法一：因为 由，从而a1＝32，又an＝1，得q＝ 所以32×n－1＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. [答案]　(1)－1或2　(2)6 [规律方法]　等比数列基本量的求法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a1，q，再求an，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，这也是常见的方法. [跟踪训练] 1．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________． (2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q＝________. [解析]　(1)∵a5＝a1q4，a1＝5，∴q＝－3，∴a5＝405. (2)由题意，an＝an＋1＋an＋2，即 an＝anq＋anq2，∴q2＋q－1＝0， ∴q＝. ∵q>0，∴q＝. [答案]　(1)405　(2) 等比中项的应用 　在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数． [思路探究]　法一：利用等比数列的通项公式求解； 法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解． [解]　法一：依题意，a1＝4，a5＝，由等比数列的通项公式，得 q4＝.，q＝±＝ 因此，插入的3项依次为2,1，.或－2,1，－ 法二：此等比数列共5项，a3是a1与a5的等比中项，因此a3＝±＝±1. a2是a1与a3的等比中项，a4是a3与a5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a3＝1，a2＝±＝±2， a4＝±.＝± 因此，插入的3项依次为2,1，.或－2,1，－ [规律方法]　 注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同.从而，对于数a，b的等比中项G，G2＝ab一定成立，但G的符号不一定正负都可取，如等比数列{an}中，三项分别为a1，a4，a7，则a4是a1与a7的等比中项，此时a4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a2，a4，a6，也有a4是a2与a6的等比中项，此时a4只能与a2和a6同号. 提醒：三个数满足G2＝xy，则x，G，y不一定成等比数列，如0，0，0这三个数不成等比数