必修5 2.3.1 2.3.2 第2课时 等比数列的性质-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

第2课时　等比数列的性质 学习目标：1.掌握等比数列的性质，能应用其性质解题．(重点)2.了解等比数列与指数函数的关系．(重点) 1．等比数列与指数函数的关系 如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上． 2．等比数列的性质 (1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al. (2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a. (3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． (4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，|q1|.，q1q2，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，{an·bn}， (5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝…. [基础自测] 1．若等比数列{an}的通项公式an＝2n＋p，则p＝________. [解析]　结合等比数列{an}的图象特点，可知p＝0. [答案]　0 2．在等比数列{an}中，若a5＝1，则a2·a8＝________. [解析]　a2·a8＝a＝1. [答案]　1 3．在等比数列{an}中，a1a2＝3，a5a6＝27，则a3a4＝________. [解析]　∵{an}是等比数列，设公比为q. ∴a5a6＝a1q4·a2q4＝a1a2q8， a3a4＝a1q2·a2q2＝a1a2q4， 又∵a1a2＝3，a5a6＝27，∴a3a4＝9. [答案]　9 等比数列的性质 　在等比数列{an}中， (1)若a3a5a7a9a11＝243，求的值； (2)若an>0，且a3a6＝32，求log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值． [思路探究]　利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a求解． [解]　(1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列， ∴a3a5a7a9a11＝a＝243＝35， ∴a7＝3. 又＝a7，＝ ∴＝3. (2)log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2a1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4 ＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20. [规律方法]　等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便. 提醒：在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度. [跟踪训练] 1．(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值； (2)在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7. [解]　(1)∵{an}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4， ∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a，，a3·a5＝a ∴a6·a10＋a3·a5＝a＝41，又a4·a8＝4，＋a ∴(a4＋a8)2＝41＋2×4＝49，且an>0， ∴a4＋a8＝7. (2)∴a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根， ∴∴a5>0，a9>0. 又∵a＝a5·a9＝1，且a7＝a5·q2>0，∴a7＝1. 等比数列的实际应用 　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N*)时这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ [思路探究]　根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决． [解]　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)， a3＝13.5(1－10%)2，…， 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1. 所以n年后车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元． (2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.86(万元)， 所以用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.86万元． [规律方法]　解等比数列应用题的一般步骤 [跟踪训练] 2．某市2018年建成共有产权住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%