第九章 9．3．1　平面向量基本定理（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

因为 a·b＝a·c＝b·c＝cos 120° ＝-1 ， 2 所以 k2-2k>0，解得 k<0 或 k>2， 即 k 的取值范围是{k|k<0 或 k>2}． 9.3 向量基本定理及坐标表示 9.3.1 平面向量基本定理 课程标准 核心素养 理解平面向量基本定理及其意义． 1. 数学抽象：了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理． 2. 逻辑推理：会用基底表示平面内任一向量. 知识探究区——注重知识生成过程 【情境导入】 火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．在力分解 的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线的力． 问题：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示？ 提示：将两个不共线的向量及任一向量的起点平移到同一点，利用平行四边形法则以及 数乘向量，可知平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示． 【知识概括】 1. 平面向量基本定理 条件 e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量 结论 对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2 基底 两个不共线的向量 e1，e2 叫作这个平面的一组基底 2. 正交分解 由平面向量基本定理知，平面内任一向量 a 可以用一组基底 e1，e2 表示成 a＝λ1e1＋λ2e2 的形式．我们称λ1e1＋λ2e2 为向量 a 的分解，当 e1，e2 所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量 a 的正交分解． 【要点解读】 平面向量基本定理的关注点 ①e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量； ②该平面内的任意向量 a 都可用 e1、e2 线性表示，且这种表示是唯一的； ③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底； ④定理的证明，课本中是用作图法证明了它的存在性，又用反证法证明了它的唯一性． [示例](教材 P25 例 1 改编)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 DC 的中点，F 是 ( AB ) ( AC ) ( AF )EC 的中点，若→ ＝a， → ＝b，则用 a，b 表示→ 的结果为 ． → 解析：由题意，可得CB → ＝AB → -AC ＝a-b， ∵D 是 BC 的中点，E 是 DC 的中点，F 是 EC 的中点， ( ∴ ) ( ＝ )→ 1 → CD CB 2 ＝1 (a-b)，同理， → ( CE )2 1 → ＝ CD 2 ＝1 (a-b)， → ( CF )4 1 → ＝ CE 2 ＝1 (a-b)， 8 ( ∴ ) ( ＝ )→ → AF AC → → ＝b＋1 ( ＋ ) ( CF )8 1 7 (a-b)＝1 8 a＋7 b. 8 答案：AF ＝ a＋ b 8 8 [对点练]如图，已知 E，F 分别是矩形 ABCD 的边 BC，CD 的中点，EF 与 AC 交于点 G， → 若AB → ＝a，AD → ＝b，用 a，b 表示AG ＝ . ( AG )解析： → → → ( ＝ ) ( ＋ )AB BE → ＝a＋1 ( ＋ ) ( EG )2 1 → ( b ＋ )BD 4 1 ＝a＋ 2 b＋1 4 (b-a) 3 ( ＝ )4 3 b. ( a ) ( ＋ )4 答案：3 4 a＋3 b 4 能力提升区——注重题型技法阐释 题型一 平面向量基本定理的理解 对基底的理解 (1) 两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底， 反之，则可作基底． (2) 一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示 出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 x1＝x2， y1＝y2. [例 1]若 e1，e2 是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有 ．(填序号) ①若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； ②对于平面α内任意一个向量 a，使得 a＝λe1＋μe2 成立的实数λ，μ有无数对； ③线性组合λe1＋μe2 可以表示平面α内的所有向量； ④当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2 可能表示同一向量． 解析：①正确．若λ≠0，则 e ＝ μ e ，从而向量 e ，e 共线，这与 e ，e 不共线相矛盾， 1 - 2 1 2 1 2 λ 同理可说明μ＝0.②不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．③正确．平面α内的任一向量 a 都可表示成λe1＋μe2 的形式，反之也成立；④不正确，结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1 和μe2 确定后，其和向量λe1＋μe2 唯一确定． 答案：①③ [即时练]1．