第九章 9．3．2　高效课时2 向量数量积的坐标表示（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

设 P(x，y)，则(-6，-14)＝3(x-7，y-8)， x＝5， －6＝3（x－7）， ( 3 )∴ －14＝3（y－8）， 解得 y＝10， 5，10 即 P 3 . 答案： 5，10 3 13．已知点 O(0，0)，A(1，2). (1) 若点 B(3t，3t)， → ＝ → ＋ → ，则 t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？ OP OA OB 点 P 在第二象限？ (2) 若 B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能，求 t 的值； 若不能，说明理由． → 解：(1)OP → → ( ＝ ) ( ＋ )OA OB ＝(1，2)＋(3t，3t)＝(1＋3t，2＋3t)， 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0， ∴t＝-2 3 ∴t＝-1 3 .若点 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0， . 1＋3t<0， 若点 P 在第二象限，则 2＋3t>0， ∴-2 3 → <t<-1 . 3 → → → (2)OA ＝(1，2)，PB ＝OB -OP ＝(3-3t，3-3t). 若四边形 OABP 为平行四边形，则→ ＝ → 3－3t＝1， ∴ 3－3t＝2， OA 该方程组无解． PB . 故四边形 OABP 不能成为平行四边形． 高效课时 2/ 向量数量积的坐标表示 课程标准 核心素养 1．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示 1．数学运算：掌握平面向量数量积的坐标表 示，会用向量的坐标形式求数量积． 两个平面向量的夹角． 2．能用坐标表示平面向量垂直的条件． 2．逻辑推理：能根据向量的坐标计算向量的 模、夹角及判定两个向量垂直． 知识探究区——注重知识生成过程 【情境导入】 问题：1．已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么 a·b 如何用 a，b 的坐标表示？ 2．前面我们学习的两个向量数量积公式、模长公式以及垂直的充要条件分别是什么？ 提示：1．a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2， 因为 i2＝|i|2＝1，j2＝|j|2＝1，i·j＝j·i＝0， 所以 a·b＝x1x2＋y1y2． 2．数量积公式：a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉；模长公式：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a ； 垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0. 1．向量数量积的坐标表示 【知识概括】 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2．向量模的坐标形式 ( x 2 ＋ y 2 )(1)若 a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝ ． ( 2 2 ( x 2 － x 1 ) ＋ ( y 2 － y 1 ) )(2)如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1) ，(x2，y2) ，那么 a＝ (x2-x1，y2-y1)，|a|＝ ． 3．向量垂直的充要条件的坐标表示 设 a＝(x1，y1) ，b＝(x2，y2) ，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 4．向量夹角的坐标表示 设 a，b 都是非零向量，a＝(x1，y1) ，b＝(x2，y2) ，θ是 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝ a·b |a||b| x1x2＋y1y2 ( x 2 ＋ y 2 1 1 x 2 ＋ y 2 2 2 )＝ ． 【要点解读】 1. 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，简记为“对应相乘计算和”． x y a ， 2. 与向量 a 同向的单位向量 a0＝ |a| ，若 a＝(x，y)，则 a0＝ x2＋y2 x2＋y2 . 3. 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量 b 在向量 a 方向上投影的数量的坐标形式为 x1x2＋y1y2 . ( x ) ( 1 ) ( 1 )2 ＋y2 4. 要注意区分两个向量垂直与平行的坐标表示形式，垂直的坐标表示可简记为“横横纵 纵积相反”． [示例](教材P33 例2 改编)已知向量a＝3e1-2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1，0) ，e2＝(0，1) ． (1)求 a·b，|a＋b| ； (2)求 a 与 b 的夹角的余弦值． 解：(1)因为 e1＝(1，0) ，e2＝(0，1) ，所以 a＝(3，－2) ，b＝(4，1) ，a＋b＝(7，－1) ， 则 a·b＝3×4＋(－2) ×1＝10，|a＋b| ＝ ( 2 7 2 ＋ ( － 1 ) )＝5 2 . (2)由(1)得|a| ＝ ( 2 3 2 ＋ (