第九章 9．2．1　高效课时2 向量的减法（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

( OA ) ( AB ) ( OA ) ( AB ) ( OB )(2)在平面内任取一点 O，作→ ＝a， → ＝e，则 a＋e＝ → ＋→ ＝ → ， 因为 e 为单位向量，所以点 B 在以 A 为圆心的单位圆上(如图所示)， 由图可知当点 B 在点 B1 时，即 O，A，B1 三点共线时，|a＋e|最大，最大值是 3． 高效课时 2/ 向量的减法 课程标准 核心素养 1．数学抽象：由向量的加法运算类比得到向 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面 量的减法运算． 向量减法运算及运算规则，理解其几何意义． 2．直观想象：掌握平面向量减法的运算法则， 理解向量减法的运算律． 知识探究区——注重知识生成过程 知识点一 向量减法的定义 【情境导入】 问题：我们知道，两个数的差 a-b 可以看成 a＋(-b)，你能用文字语言描述这一结论吗． 提示：两个数的差就是第一个数加上第二个数的相反数． 【知识概括】 若 b＋x＝a，则向量 x，叫作 a 与 b 的差，记作 a-b.求两个向量差的运算，叫作向量的减 法． 【要点解读】 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，互为相反向量的两 个向量必为平行向量． [示例]1．设 b 是 a 的相反向量，则下列说法错误的是( ) A．a 与 b 的长度必相等 B. a∥b C．a 与 b 一定不相等 D．a 是 b 的相反向量 解析：选 C.根据相反向量的定义可知，C 错误，因为 0 与 0 互为相反向量，但 0 与 0 相 等． 知识点二 向量减法的几何意义 【情境导入】 ( OA ) ( OB )问题：已知向量 x 是向量→ 与向量→ 的差，你能作出表示向量 x 的有向线段吗？ 提示：如图，在平面内任取一点 O，作→ ＝a，→ ＝b，因为 → → ＋BA → ＝OA ， → → → → OA OB OB → → 所以BA ＝OA -OB ，即BA 就是向量OA 与向量OB 的差向量． 1. 向量减法的几何意义 【知识概括】 → → → 作法一：已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 O，作OA ＝a，OB ＝b，则BA ＝a-b， 如图所示，即 a-b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量． ( OA )作法二：(相反向量法)在平面内任取一点 O，作→ ＝a → → → ( ， )OB ＝b → OD ＝-b，连接 AB.由向量减法的定义知 a-b＝a＋(-b)＝OA ＋OD ＝ → OC ，在四边形 OCAB 中，OB 綊 CA，所以 OCAB 是平行四边形，所 → 以BA → ＝OC ＝a-b. 2. |a-b|与|a|，|b 之间的关系 (1)当 a 与 b 不共线时，||a|-|b||<|a-b|<|a|＋|b|； (2)当 a 与 b 同向时，|a-b|＝||a|-|b||； (3)当 a 与 b 反向时，|a-b|＝|b|＋|a|. 综上，有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|＋|b|. 【要点解读】 1. 向量减法的实质是向量加法的逆运算，向量减法的几何意义可以用口诀“共起点， 尾相连，指被减”来记忆． → 2. 以向量AB → → ＝a，AD → ＝b 为邻边作平行四边形 ABCD，则两条对角线的向量为 → AC ＝a＋b，BD ＝b-a，DB ＝a-b，这一结论在以后应用还是非常广泛的，应该理解并 会应用． [示例]2．(教材 P13 练习 4 改编)如图， → ＋ → → 等于( ) AB BC -AD → → A．AD → C．DB B．DC → D．AB 解析：选 B.法一 → ＋ → → ＝ → → ＋ → ＝ → ＋ → ＝ → → 法二 AB AB ( ＋ )→ → BC -AD BC ( ＝ )→ (AB -AD ( ＋ )→ BC AB → )-AD -AD ( ＝ )→ AC BC → -AD DB BC ( ＝ ) ( . )→ DC DC . → [对点练]1．在△ABC 中，若BA → ＝a，BC → ＝b，则CA 等于( ) A．a B．a＋b C．b-a D．a-b ( D. CA )解析：选 → ＝ → → ＝a-b. ( BA ) ( - BC )2．若|a|＝1，|b|＝2，则|a-b|的范围是 ． 解析：由||a|-|b||≤|a-b|≤|a|＋|b|可知，1≤|a-b|≤3 答案：[1，3] 能力提升区——注重题型技法阐释 题型一 求作两向量的差向量 求作两个向量的差向量的两种思路 (1) 可以转化为向量的加法来进行，如 a-b，可以先作-b，然后作 a＋(-b)即可． (2) 也可以直接用向量减法的三角形法